【教学课件】第八章第一节假设检验.ppt

假设检验,参数假设检验,非参数假设检验,总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设,总体分布未知时的假设检验问题,根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。,第八章 假设检验,假设检验问题:,假设检验问题分类:,一.假设检验的基本思想,设总体 X 含有未知参数(或总体分布函数 F(x)未知),检验下述假设:,假设 或,是某个已知常数(或 是某个已知的分布函数)。则抽取容量为 n 的样本，利用样本提供的信息对假设 作出判断，从而确定是否接受,第一节 假设检验,其中：,例如:,根据上一章的讨论，显然 是可以被接受的，因为 是总体 X 的待估计参数 的无偏估计。,二.判断“假设”的根据,小概率事件原理,小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的,未知,检验假设：,如果在假设 成立的条件下某事件是小概率事件,但在一次试验中却发生了,于是就可怀疑假设 的正确性从而拒绝,现用一个例子来说明这个原则.,现有两个盒子，各装有100个球.,例如：,现从两盒中随机取出一个盒子问：这个盒子里是白球 99个还是红球 99 个？,若假设：这个盒子里有 99 个白球.,当从中随机摸出一个球时，发现是红球：,此时应如何判断这个假设是否成立呢？,假设其中真有 99 个白球，摸出红球的概率只有 1/100，这是小概率事件.,但此小概率事件在一次试验中竟然发生了，这就不得不怀疑所作的假设。,概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试 验中居然发生了，则就可以以很大的把握否定原 假设，否则就不能否定原假设。,一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的 结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全 绝对地否定原假设。,这个例子中所使用的推理方法，可以称为是带概率性质的反证法。但它不同于一般的反证法。,注：,在假设检验中，常称这个小概率为显著性水平，用 表示。,三.假设检验的两类错误,1.第一类错误(弃真):,如果 是正确的，但却被错 误地否定了。,2.第二类错误(取伪):,如果 是不正确的，但却被 错误地接受了。,若设 犯两类错误的概率分别为:,P 拒绝H0|H0为真=,P 接受 H0|H0 不真=,则显著性水平 为犯第一类错误的概率。,两类错误是互相关联的，当样本容量 n 固定 时，一类错误概率的减少必导致另一类错误 概率的增加。,要同时降低两类错误的概率，或者要在 不变的条件下降低，需要增加样本容量 n,注：,先对犯第一类错误（弃真）的概率加以控制，同时再考虑使犯第二类错误（取伪）的概率尽可能的小。,在实际问题中，通常的做法是：,四.假设检验的具体做法,例1.,罐装可乐容量的检验问题,在一条生产可乐的流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。罐装可乐的容量按标准应在 350 毫升和 360 毫升之间。,试问：如何检验这批罐装可乐的容量是否合格呢？,分析：,若把每一罐可乐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准。这显然是不可行的。,每隔 1小时，抽查 5 罐，得 5个容量的值：X1，X5，根据这些值来判断生产是否正常.,如发现不正常则应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如生产正常，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量。,通常的办法是：,进行抽样检查.,显然：不能由 5 罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是很大的；当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.,即，每隔一定时间，抽查若干罐。,如：,如何处理这两者的关系？,现用假设检验的方法来处理这对矛盾,在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在 355 毫升上下波动.这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.,注意到：,故:可以认为样本是取自正态总体,现抽查了n 罐，测得容量为：,现在要检验的假设是：,它的对立假设是：,称 H0 为原假设（或零假设,称 H1 为备择假设（或对立假设）.,H0：,H1：,那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？,而较大、较小是一个相对的概念，那么它应由什么原则来确定？,对差异作定量的分析，以确定其性质.,问题归结为：,当差异是由抽样的随机性引起时，则称其为“抽样误差”或 随机误差；它反映了由偶然、非本质的因素所引起的随机波动。然而，这种随机性的波动是有一定限度的,注意到：,如果差异超过了这个限度，则就不能用抽样的随机性来解释了。此时可认为这个差异反映了事物的本质差别，则称其为“系统误差”,如何判断差异是由“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？,从而问题就转化为：,解决的方法：,给出一个量的界限，即显著性水平,从而提出假设：,H0：,H1：,因为 已知，,所以构造统计量为：,检验统计量：,N(0,1),对给定的显著性水平，查正态分布的上分位点的值，使：,故可以取拒绝域 C为：,如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域 C(拒绝域)是个小概率事件。,这里所依据的逻辑是：,如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域C，则拒绝 H0；否则就接受 H0.,注：,如果该统计量的实测值落入C，即 H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它；否则就不能否定H0 而只好接受H0,不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度。,故假设检验又称为“显著性检验”,如果在 很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异。,基于这个理由，人们常把 时拒绝 H0 称为是显著的。,如果显著性水平 取得很小，则拒绝域也会比较小。其产生的后果是：难于被拒绝。,把在 时拒绝 称为是 高度显著的。,某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是 32.5 毫米.实际生产的产品，其长度 X 假定服从正态分布 其中 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取 6 件,得尺寸数据如下：,32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03,问：这批产品是否合格?,设：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体为 X,例2,解：,则问题是要检验 E(X)是否为32.5.,由已知，,提出原假设和备择假设,第一步：,因为已知,未知.,第二步：,能衡量差异大小且分布已知,故取检验统计量为：,在 成立下求出它的分布为：,第三步：,即“”是一个小概率事件.,小概率事件在一次试验中基本上是不会发生.,使得：,故得否定域为：,对给定的显著性水平 查 分布表得临界值：,故不能拒绝H0，即应接受H0,第四步：,没有落入拒绝域,接受H0这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著，不足以否定H0。,将样本值代入，计算出统计量 的实测值：,可认为这批产品是合格的。,结论：,注：,例3.,设某异常区磁场强度服从正态分布，由以前观察知道，现有一台新型号的仪器，用它对该区进行磁测，抽取了41个点，其样本均值与方差为：,问：此仪器测出的结果是否符合要求?,解:,以 分别表示用这台机器测出的异常区的磁场强度 X 的均值和均方差(标准差)。,于是：,这里 是未知的.,根据长期实践的经验表明异常区磁场强度的标准差比较稳定，所以可设,提出假设：,第一步：,第二步：,由已知条件取检验统计量为：,第三步：,对给定的显著性水平 查正态分布表得临界值：,使得：,故得否定域为：,即：,是一个小概率事件.,第四步：,将样本值代入，计算出统计量 的实测值：,没有落入拒绝域,故不能拒绝H0，即应接受H0,结论：,可认为这台仪器测出的结果是符合要求的。即这台机器是基本正常的。,提出假设,根据统计调查的目的，提出原假设H0 和备选假设H1,作出决策,抽取样本,检验假设,拒绝H0还是接受H0,显著性水平,小 结,-犯第一类错 误的概率，C 为拒绝域。,对差异进行定量的分析，确定其性质(是随机误差还是系统误差.为给出两者界限，找一检验统计量 T，在H0 成立下其分布已知.）,注:,备择假设 表示 可能大于 也可能小于,，故称其为 双边备择假设。从而对应的假设检验称为 双边假设检验。,拒绝域与临界点,当统计量取某个区域 C 中的值时，拒绝原假 设，则称区域 C 为 拒绝域。,(2)拒绝域的边界点称为 临界点,单边检验,(1)右边检验:,(2)左边检验:,则称 与 的差异显著,在正态分布中针对显著性水平，一般有：,则称 与 的差异不显著,例如，,当,当,五.假设检验问题的步骤,3.确定检验统计量及拒绝域的形式,1.根据实际问题要求，提出原假设 及备择假设,2.给定显著性水平 及样本容量,4.按，求出拒绝域,5.取样本，根据样本观察值确定接受 还是拒绝,某编织物强力指标 X 的均值 公斤。改进工艺后生产了一批编织物，今从中取 30 件，测得 公斤。假设强力X 指标服从正态分布，且已知 公斤。,提出假设:,取统计量：,否定域 C 为：,是一小概率事件,例4,问：在显著性水平 下，新生产编织物比 过去的编织物强力是否有提高?,解:,并由样本值计算，得统计量 U 的实测值为：,故拒绝原假设 H0，可认为新生产编织物比过去的编织物强力是有提高的。,落入否定域,此时可能会犯第一类错误，但犯错误的概率不会超过 0.01.,由已知，,注：,