《位力法与超静定》PPT课件.ppt
,2023年8月8日,材料力学,第12章 能量法与超静定问题,第十二章 能量法与超静定问题,12-1 概述,12-2 杆件变形能的计算,12-3 单位荷载法,12-4 能量法解超静定问题,12-1 概述,一、能量方法,二、基本原理,能量法是求位移的普遍方法,可以求结构上任意点沿任意方向的位移。,12-2 杆件变形能的计算,1、轴向拉压的变形能,2、扭转杆内的变形能,纯弯曲,横力弯曲,3、弯曲变形的变形能,4、组合变形的变形能,二、变形能的普遍表达式,克拉贝隆原理(只限于线性结构),F-广义力包括力和力偶,-广义位移包括线位移和角位移,12-3 单位荷载法 莫尔定理,一、莫尔定理的推导,求任意点A的位移 f A,A,变形能为,A,F1,F2,A,1、先在A点作用单位力F0,再作用F1,F2力,,2、三个力同时作用时,任意截面的弯矩:,变形能:,(Mohr积分),二、普遍形式的莫尔定理,注意:上式中应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.,B,例题1 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI.用单位载荷法求 C 点的挠度和转角.,A,C,q,F=qa,a,2a,B,A,A,B,C,a,2a,解:,AB:,(1)求截面的挠度(在 c 处加一单位力“1”),C,q,F=qa,a,2a,1/2,BC:,B,A,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,RA,1/2,B,A,BC:,AB:,(2)求 C 截面的转角(在 c 处加一单位力偶),A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,RA,例题2 图示为一水平面内的曲杆,B 处为一刚性节点,ABC=90在 C 处承受竖直力 F,设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp,求 C 点竖向的位移.,解:在 C点加竖向单位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,例题3 刚架受力如图,求A截面的垂直位移,水平位移及转角.,AB:,BC:,解:求A点铅垂位移(在A点加竖向单位力),A,B,C,l,l,求A点水平位移(在A点加水平单位力),AB:,BC:,A,B,C,l,l,求A点的转角(在A点加一单位力偶),AB:,BC:,A,B,C,l,l,例题4 计算图(a)所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB.EI=常数.,B,A,R,P,B,A,R,P,解:,O,O,例题5 图示为一简单桁架,其各杆的EI相等.在图示荷载作用下,A,C 两节点间的相对位移.,桁架求位移的单位荷载法为,A,C 两点间的距离缩短.,14-2 用力法解静不定结构,A,B,l,去掉多余约束代之约束反 力,得基本静定系,X1 为多余反力,例题6 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力.,(2)变形条件:B点的 挠度为,(a),若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移,由于X1作用,B点的沿X1方向位移是 11 的 X1 倍,利用上式解出,(a)式成为,力法正则方程,(3)用莫尔定理求 1F,(4)用莫尔定理求 11,于是,例题7 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定,B端铰支(图a).在F作用下,试求曲杆的弯矩图.设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,可以借用计算直杆变形的公式.,/4,/4,F,解:曲杆为一次超静定,解除多与支座B,得到A端固定、B端为自由端的基本静定系,多余约束力为X1(图b).,(a),当基本静定系上只作用外载荷F时(图c),弯矩为,当在B点沿X1方向作用一单位力时(图d),弯矩方程为,a,应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,,将1F和11代入,解得,曲杆任一横截面上的弯矩,例题8 计算图(a)中所示桁架各杆的内力.设各杆的材料相同,横截面面积相等.,解:桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定的.以杆件4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力X1,得到图(b)所示的相当系统.,(a),1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移;11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移(图d).,力法正则方程,由图(c)求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi,应用莫尔定理,代入方程后求得,由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力,例9 试求图示刚架的全部约束反力,刚架EI为常数.,解:刚架有两个多余约束,为二次静不定结构;,选取并去除多余约束,代以多 余约束反力;,建立力法正则方程,计算系数dij和自由项DiP,用莫尔定理求得,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力,全部表示于图中.,一、对称结构的对称变形与反对称变形,结构几何尺寸、形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴,则称此结构为对称结构.,14-3 对称及反对称性质的应用,例题10 在等截面圆环直径AB的两端,沿直径作用方向相反的一对F力(图a).试求AB直径的长度变化.,解:沿水平直径将圆环切开(图b),由载荷的对称性,截面C和D上的剪力等于零,只有轴力FN和弯矩M0.,利用平衡条件求出 FN=F/2,只有 M0 为多余约束力.,(a),由图(d)和图(e)求出,根据对称性,只研究圆环的四分之一(图c),变形协调条件为,将1F和11代入变形协调方程中,解得,任意截面上的弯矩,例题11 试求图示刚架的全部约束反力,并作弯矩图,刚架EI为常数.,解:图示刚架有三个多余未知力.但由于结构是对称的,而载荷反对称,故对称轴横截面上轴力、弯矩为零,只有一个多余未知力(剪力),只需列出一个正则方程求解.,用莫尔定理求D1F和d11.,B,则,由平衡方程求得其他支反力:,代入正则方程,谢谢听讲,