《详解曲线拟合》PPT课件.ppt

插值与曲线拟合,第一节:插值,插值的目的,已知三角函数表,查 9020,求函数近似表达式及近似值,一、拉格朗日型插值,1、线性插值,已知数据表,x0，x1称为插值节点，线性插值多项式（线性插值函数）为,其中,线性插值基函数,满足:,例1、已知数据表,解：,基函数为,写出 f(x)的线性插值函数,并求 f(1.5)的近似值。,线性插值函数为,且 f(1.5)L1(1.5)=0.885。,二次插值多项式（插值函数）为,二次插值基函数,2、二次插值,已知数据表,满足,于是，易得：,n次插值多项式（插值函数）为,3、n 次插值,已知 y=f(x)在 n+1 个节点 x0,x1,xn 处的函数 y0,y1,yn。,其中：,n次插值基函数,满足,1、差商：,二、牛顿型插值,称为函数 f(x)关,于点 x0，x1 的差商。,称为函数 f(x)关,于点 x0，x1，x2 二阶差商。,n 阶差商：,n-1 阶差商的差商,各阶差商的计算,差商表,2、牛顿型插值多项式,牛顿型插值多项式为,已知 y=f(x)在 n+1 个节点 x0,x1,xn 处的函数 f(x0),f(x1),f(xn)。则,第二节:曲线拟合,一、最小二乘法,已知 f(x)的一组数据(xj,yj)(j=1,2,n),要求,构造一个函数,用,来逼近 f(x)。不要求,通过所有数据点(xj,yj),数据一般有观测误差,因此,曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差。,求,？,设,称,为残差。记,确定,的原则,使 Q 取得最小值。,求,？,曲线拟合的最小二乘法,二、拟合函数,给定 f(x)的数据(xj,yj)(j=1,2,n),用,来拟合函数 f(x),其中,为已知的,线性无关的函数，求系数,使,在该点处取得最小值,称,为拟合函数 或经验公式。,为,求拟合函数,由于点,的最小点,则,应满足:,即,亦即,引入记号:对于h(x)与 g(x),记,称为h 与 g 的内积,且,则(*)可写成:,(*),通过求解方程(*),求出,。,三、曲线拟合的步骤,1、确定拟合函数的形式,（1）作出散点图（或进行机理分析）；,（2）确定出拟合函数的形式。,2、根据(*)式,求出拟合函数(即求出a0,a1,am）,3、检验（修正,重新拟合）,四、多项式拟合,当取,时,即,此时,多项式拟合,因此,(*)为,注：当 m=1 时,直线拟合;当 m=2 时,抛物拟合。,（*）,直线拟合：拟合函数,a0,a1 满足:,抛物拟合：拟合函数,a0,a1,a2 满足:,例1、已知,解：数据点描绘,令,则,解之得,故,例2、已知,解：数据点描绘,令,则,解之得,故,五、其它形式拟合,ln p=ln A+M x,例3、用形如 p(x)=AeM x 的函数拟合下列数据,记：y=ln p,a0=lnA,a1=M,则有,解：由 p(x)=AeM x 得,且,于是,由,解得：a0=1.496,a1=0.4488。于是,因此,p(x)=4.464 e0.4488 x,例4、已知,解：数据点描绘,(1)令,记,则,。,解得：a=0.0847,b=0.1319。即,(2)令,记,则,则,解得：A=2.4297,B=-1.0706。即,于是,则 y=a0+a1 x,例5、用形如 W=C t 的函数拟合下列数据,解得：a0=lnC=1.468,a1=-0.1038,则有,解:lnW=lnC+lnt,记 y=lnW,a0=lnC,a1=,x=lnt,则,例6、已知,解:,试用,来拟合以上数据,于是,从中解出：a0,a1,a2。,