《线性微分方程》PPT课件.ppt
9.4 线性微分方程,1 二阶线性微分方程解的结构,证明,因为,是方程(2)的解,问题:,若 y1(x)与 y2(x)成线性关系,即存在常数 LR 使,则,此时 不是方程(2)的通解,说明:,由于,在任意区间上都是线性无关,由于,在任一区间上都是线性相关的,说明:,(a)求出(2)的两个线性无关的特解 y1(x),y2(x);,(b)写出通解,例,解,将 代入方程得,是方程的一个解,设 是方程的解,其中 u(x)是待定函数,由于,代入方程得,积分得,由于只需取一个解,故取 c1=1,于是有,再积分得,取 c2=0,则有,下面讨论非齐次方程(1)的解的结构,证明,将函数 代入方程(2)有,进一步分析：若 是非齐次方程(1)的任意一个解,是非齐次方程(1)的一个任意取定的特解,从而有,(3)写出非齐次方程的通解,例,解,因为,由于 是非齐次方程的解,所以,是其对应齐次方程的解,根据非齐次方程解的结构定理知,是非齐次方程的通解,解 线性无关.,性质 4(非齐次方程解的叠加原理),2 二阶线性常系数微分方程,(1)二阶线性常系数齐次方程的求解,下面考虑求(8)的两个线性无关的特解,设方程(8)有形式 的解,代入方程(8)有,即,方程(9)称为齐次方程(8)的特征方程,(a)如果特征方程(9)有两个不同的实根,设 是特征方程(9)的根,则,是方程(8)的解.,是线性无关解,所以方程(8)的通解,(b)如果特征方程(9)有两个不同的复根,设两个复根:,则有解,并且 y1,y2 是(8)的实函数解,同时是线性无关的.,所以方程(8)的通解,(c)如果特征方程(9)有相等的实根,此时根,则,代入方程有,积分得,所以方程(8)的通解,计算齐次方程(8)的通解的方法:,设齐次方程为,(1)写出特征方程,(2)根据特征方程的情况写出方程的通解,(a)有两个不同的实根:,通解:,(b)有一对共轭复根:,通解:,(c)有两个相等的实根:,通解:,解,特征方程,所以方程的通解,解,特征方程,特征根,所以方程的通解,解,特征根,所以方程的通解,特征方程,由,由,又,所以特解,解,当浮体下浮位移 s 时,由牛顿第二定律得,由于平衡时,所以有,即,(二阶线性齐次方程),特征根:,特征方程:,方程的通解,此时的运动周期,现由 T=2,所以有,(2)二阶线性常系数非齐次方程的求解,下面介绍用待定系数法求方程(10)的特解的方法,由,代入方程有,整理得,(11),1)如果 不是特征方程 的根,则,取,其中 为待定系数,(11),代入(11)式确定 使,是方程(10)的解,(不是特征根情形的特解形式),2)如果 是特征方程 的单根,则,此时,为使(11)式的左边为一 n 次多项式,(是单根情形的特解形式),可取,3)如果 是特征方程 的二重根.,则,此时,为使(11)式的左边为一 n 次多项式,是方程(10)的解,(是二重根情形的特解形式),代入(11)式确定系数 使,可取,综合以上结论知:,0,不是特征根,1,是单根,2,是二重根,解,特征方程,所以齐次方程的通解:,先求齐次方程 的通解,再求非齐次方程的一个特解,由,是特征方程的二重根,故可设非齐次方程的特解为,此时,代入方程整理得,解得,所以求得方程的一特解:,由此求得原方程的通解,解,原方程可表示为,将方程两边对 x 求导有,再将方程两边对 x 求导有,即,又从上面的等式可得,故知所求函数 f(x)满足以下初值问题,特征方程,特征根,所以齐次方程 通解:,代入方程得,所以特解,于是原方程的通解,由,由,故所求函数为,(b),其中 Pn(x),Pl(x)分别为 n 次和 l 次多项式.,对于方程(12)可设其特解为,其中 m=max n,l,为 m 次多项式,0,+i 不是特征方程的根,1,+i 是特征方程的单根,解,特征方程,特征根,所以齐次方程的通解,先求齐次方程 的通解,再求非齐次方程的一个特解,由于+i=2+i 不是特征根,故设特解,此时,代入原方程并整理得,解得 a=1,b=2,所以原方程的特解:,原方程的通解,注意:,不可设特解为,而应设为,解,特征方程,特征根,所以齐次方程的通解,下面考虑求非齐次方程的特解,将原方程分解为,(13),(14),注意到若 是(13)的特解,是(14)的特解,则 就是原方程的特解,而(13)属于(a)的情形,(14)属于(b)的情形,设方程(13)的特解为,(=2 是特征根),将 代入(13),整理得,解得,所以,再求方程(14)的特解.,由于 不是特征根,故可设特解,将 代入(14),整理可得,解得,原方程的特解,所以原方程的通解,解,建立坐标系如图所示,A 点受到的力:,(1)干扰力:psint,(2)弹性恢复力:ky,据牛顿第二定律有,初始条件:,特征方程:,特征根:,齐次方程的通解:,被称为固有频率,下面求非齐次方程的特解,(1)当 时,设非齐次方程的特解为,代入方程整理得,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由,所以初值问题的解,(2)当 时,设非齐次方程的特解为,代入方程可得:,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由 可确定,所以初值问题的解,注意:,位移 y(t)的振幅为,将随 t 的增大而无限增大,从而引起共振现象,当 时,3 n 阶线性常系数微分方程,与二阶线性方程类似,非齐次方程(15)的通解为:,则齐次方程(16)的通解为,为求齐次方程(16)的 n 个线性无关解,求出特征方程的根,并写出对应的解:,则确定其对应的两个解为:,(3)若 是(17)的单重共轭复根:,(4)若 是(17)的 k 重共轭复根:,则确定其对应的 2k个解为:,解,特征方程,特征根,即,所以方程的通解,4 欧拉(Euler)方程,为 n 阶欧拉方程,其中 为常数,二阶欧拉方程(18)的求解,令,则 t=lnx,代入方程(18)有,这是一二阶线性常系数微分方程,解,这是一二阶欧拉方程,令,则 t=lnx,原方程可化为,特征方程,特征根,齐次方程的通解:,设非齐次方程的特解:,代入方程解得,所以非齐次方程的通解,原方程的通解,则有,一般地,可证:,于是 n 阶欧拉方程可化为常系数方程,其特征方程为:,解,这是一三阶欧拉方程,令,则 t=lnx,原方程可化为,特征方程,特征根,齐次方程的通解:,原方程的通解:,
