第三章离散傅里叶变换.ppt
2023/8/8,第三章 离散傅里叶变换,Discrete Fourier Transform,福建农林大学金山学院信息与机电工程系(),数字信号处理 Digital Signal Processing,2023/8/8,本章内容,一.引言二.周期序列的离散傅立叶级数三.离散傅立叶变换四.DFT性质五.频域采样定理六.利用DFT对连续时间信号的逼近,2023/8/8,DFT是分析有限长序列的有用工具，它既是理论分析的重点，也是实际运算的核心，在本质上，有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一样的。DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法，时域和频域皆离散的变换。FFT算法是DFT变换的计算机算法实现。,一、引言,2023/8/8,DFT要解决两个问题：时域、频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化快速运算(FFT),当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时，形成不同形式的傅立叶变换对。,2023/8/8,连续时间非周期信号的傅立叶变换为,傅立叶变换,2023/8/8,傅立叶级数,当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数,2023/8/8,对离散序列x(n)，其傅立叶变换为,若x(n)是信号x(t)的采样序列，采样间隔为T，则有：,序列的傅立叶变换,2023/8/8,上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。,时域的离散造成频域的延拓（周期性），因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。,离散傅立叶变换,对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化，令 从而,2023/8/8,四种形式归纳,2023/8/8,对一个周期为N点的周期序列显然（周期循环，永不衰减）周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。,类似连续时间信号的傅立叶级数分析，我们有序列的离散傅立叶级数。,二、离散傅立叶级数（DFS）,2023/8/8,可得离散傅立叶级数变换对：,周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换，然后在Z平面单位圆上等间隔2/N采样得到的：,2023/8/8,2023/8/8,-,解：根据定义求解,2023/8/8,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可以“窥一斑而知全貌”。,说明,2023/8/8,对周期序列，在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况，并且可用DFS来加以分析。对长度为N的有限长序列x(n)，可以视作是周期为N的周期序列，从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。有限长序列的傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT(Discrete Fourier Transform),三、离散傅立叶变换DFT,2023/8/8,主值序列,主值序列,DFT变换对,DFS变换对,定 义,2023/8/8,定 义,对有限长序列x(n)，构造其周期延拓序列,2023/8/8,将DFS的求和限于主值区间，得到了有限长序列x(n)的离散傅立叶变换DFT。,其中：x(n)为时域有限长序列，n是时间t的离散，X(k)是频域有限长序列，k是数字频率的离散,有限长序列的DFT变换对用一个公式描述了两个序列(N点)之间的相互关系，是同一个信号在不同变换域中的体现，二者信息等量，互为一一确定。,2023/8/8,有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值,定 义,记旋转因子：,2023/8/8,DFT和DTFT，ZT，DFS的关系 设序列x(n)的长度为M,DFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：,DFT与DFS的关系：,2023/8/8,隐含着周期性,一.预备知识 1.余数运算表达式 如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是 的解,或称作取余数，或说作n对N取模值,或简称为取模值，n模N。,2023/8/8,例,隐含着周期性,2023/8/8,先取模值，后进行函数运作;而 将 视作周期延拓。,2.,隐含着周期性,2023/8/8,3.主值序列,隐含着周期性,2023/8/8,.,.,n,0,N-1,定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。,隐含着周期性,2023/8/8,周期延拓Matlab程序,subplot(1,1,1)%画x(n+4)11的图n=0:10;x=10*(0.8).n;n1=-11:21;x1=zeros(1,11),x,zeros(1,11);subplot(2,1,1);stem(n1,x1);title(初始序列 x(n)axis(-10,17,-1,11);text(18,-1,n)x2=x,x,x;subplot(2,1,2);stem(n1,x2);title(周期延伸)axis(-11,21,-1,11);text(18,-1,n),隐含着周期性,2023/8/8,隐含着周期性,2023/8/8,例 周期延拓,(1)周期延拓：N=5时,(2)周期延拓：N=6时，补零加长,2023/8/8,2023/8/8,有限长序列隐含着周期性。,2023/8/8,2023/8/8,2023/8/8,例,2023/8/8,DFT的性质,设：N点有限长序列x1(n)和x2(n)有：,2023/8/8,1、DFT的线性,说明：1)当有限长序列x1(n)和x2(n)的长度皆为N点，则结果也在主值区间有效。2)当二者不等时，短序列补零对齐。,2023/8/8,2、DFT的循环移位,2023/8/8,周期延拓,左移2,2023/8/8,有限长序列的移位只观察n=0到N-1这一主值区间的情况，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的序列值又从此区间的另一端进来。如果把 排列在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周旋转观察时，看到就是周期序列。,2023/8/8,subplot(1,1,1);%画x(n-6)15的图n=0:10;x=10*(0.8).n;y=cirshift(x,6,15);%右移n=0:14;x=x,zeros(1,4);subplot(2,1,1);stem(n,x);title(初始序列)ylabel(x(n);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n)subplot(2,1,2);stem(n,y);title(循环移位序列,N=15)ylabel(x(n-6)mod 15);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n),循环移位程序,2023/8/8,function y=cirshift(x,m,N)%长度为 N 的x序列:(时域)作m采样点圆周移位%y=cirshift(x,m,N)%y=包含圆周移位的输出序列%x=长度 N error(N 必须=x的长度)endx=x zeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1);,循环移位程序,2023/8/8,2023/8/8,有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。,2023/8/8,3、共轭对称性,证,2023/8/8,设有限长N点序列x(n),2023/8/8,对实部：,称 Xep(k)为X(k)的共轭偶部(圆周共轭对称分量)。,圆周共轭对称,2023/8/8,对虚部同理可证：称Xop(k)为X(k)的共轭奇部(圆周共轭反对称分量)。,圆周共轭反对称,2023/8/8,几种特例,1)当x(n)为实序列时，X(k)=Xep(k)有：2)当x(n)为纯虚序列时，X(k)=Xop(k),利用对称性只需计算X(0)X(N/2-1)的值即可。,2023/8/8,3)当x1(n)和x2(n)都是N点实序列时，构造新序列：则：,因此，通过一次N点DFT运算完成了两个N点序列的DFT计算。,2023/8/8,4、DFT形式下的帕塞瓦定理,证明:,2023/8/8,当x(n)y(n),即序列x(n)在时域计算的能量与频域计算的能量相等。,2023/8/8,5、循环卷积,设 x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且：若：则：,循环卷积可看作延拓序列周期卷积后取主值区间而得,2023/8/8,2023/8/8,时域循环卷积过程：,1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加,2023/8/8,图解,2023/8/8,2023/8/8,结果：,在圆周上的操作图示如下：,2023/8/8,线性卷积,翻转、移位、相乘求和,6、有限长序列的线性卷积与循环卷积,2023/8/8,得到线性卷积结果的示意图,2023/8/8,N1=5,1）循环卷积：(N=7)不足的，补零加长2）其中一个序列周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加,循环卷积,2023/8/8,2023/8/8,得到循环卷积的示意图,可见,线性卷积与循环卷积相同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时),2023/8/8,N=5,2023/8/8,得到循环卷积的示意图,可见,线性卷积与循环卷积不同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时),2023/8/8,总 结,2023/8/8,循环卷积,2023/8/8,循环卷积程序,x1=1,2,2;x2=1,2,3,4;y=circonvt(x1,x2,4)Stem(y),2023/8/8,function y=circonvt(x1,x2,N)%在x1 和 x2:(时域)之间的N点循环卷积%y=circonvt(x1,x2,N)%y=包含循环卷积的输出序列%x1=长度 N1 N error(N 必须=x1的长度)end%Check for length of x2,if length(x2)N error(N 必须=x2的长度)endx1=x1 zeros(1,N-length(x1);x2=x2 zeros(1,N-length(x2);m=0:1:N-1;x2=x2(mod(-m,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshift(x2,n-1,N);endy=x1*H;,循环卷积程序,2023/8/8,N=4,2023/8/8,N=7,2023/8/8,线性卷积,function y,ny=conv_improve(x,nx,h,nh)%x,nx为第一个信号;%h,nh为第二个信号%conv(x,h)可以实现两个有限长度序列的卷积ny1=nx(1)+nh(1);ny2=nx(length(x)+nh(length(h);ny=ny1:ny2;y=conv(x,h);在命令窗口调用卷积函数。x=3 4 0-2 2 3 5;nx=-3:3;h=1 4 5 6 0 1;nh=N:N+5;,2023/8/8,例,2023/8/8,X1(n),n,n,n,X1(m)10,2023/8/8,周期卷积,周期性,2023/8/8,N=10周期卷积结果,2023/8/8,X1(n),m,m,X2(-m)10,2023/8/8,循环卷积,2023/8/8,N=10点的循环卷积结果,2023/8/8,线性卷积,2023/8/8,2023/8/8,例：x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)=5,2,4,-1,2，h(n)=-3,2,1(1)计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)；(2)计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y1(n)=x(n)h(n)；(3)计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y2(n)=x(n)h(n)；比较以上结果，有何结论？,1）循环卷积：不足的，补零加长2）其中一个序列周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加,2023/8/8,解：（1）线性卷积 翻转、移位、相乘求和 y(n)=x(n)*h(n)=-15,4,-3,13,-4,3,2,2023/8/8,(2)6 点循环卷积y1(n)=x(n)h(n)=-13,4,-3,13,-4,3(3)因为8(5+3-1)，所以y2(n)=x(n)h(n)-15,4,-3,13,-4,3,2,0，y2(n)与y(n)非零部分相同。,2023/8/8,四、频域采样定理,时域抽样:对一个频带有限的信号，根据采样定理对其进行采样，所得采样序列的频谱是原带限连续信号频谱的周期延拓，主要满足奈奎斯特采样定理，采样信号的频谱不发生混叠，可完全不失真由采样序列恢复原信号。频域抽样:对有限长序列进行DFT所得X(k)是序列傅氏变换的采样，故DFT就是频域抽样。这种频域采样的采样需要满足怎样的条件？是如何恢复连续频谱的？如何才能不失真的恢复呢？,2023/8/8,1.时域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。,2.时域采样后频域不会发生混叠的条件是：。,3.时域无失真采样后可以通过理想低通滤波器恢复原信号。,图1.5.3 采样信号的频谱,图1.5.4 采样恢复,四、频域采样定理,2023/8/8,对X(z)在单位圆等距采样有：当k取整数时，显然由于，是一个周期为N的周期序列。,对绝对可和的序列x(n)，收敛域包括单位圆。,通过这样的周期序列能否恢复出原序列 x(n)？,采样Z变换,2023/8/8,对 取IDFS有：,采样Z变换,2023/8/8,讨论:1)x(n)为无限长序列：不管如何采样，频域采样点数N为有限长，将以周期N延拓，必然造成时域的混叠，不可能无失真恢复出时域信号。,即：X(z)单位圆上等距采样点的反变换 是非周期信号x(n)以N为周期的延拓，时域序列延拓周期长度N对应了频域的采样点数。,可见：时域采样导致频域周期延拓。频域采样导致时域周期延拓。,2)x(n)为有限长M点序列：当频域采样点数NM时，以N点周期延拓，必然造成混叠。,2023/8/8,3)有限长M点序列，频域采样不失真的条件是频域采样点数NM，从而：,5)对有限长序列，当NM时，N点频域采样X(k)可不失真恢复x(n)，从而也一定能不失真恢复X(z)和X(j)。,4)点数为N的有限长序列可用Z变换在单位圆上的N个均分点的采样值精确表示。,2023/8/8,对有限长N点序列x(n)：存在如下DFT对：,频域采样恢复,对原序列x(n)进行Z变换有：,2023/8/8,定义内插公式：,2023/8/8,将内插函数写成如下式:故：零极对消有：,内插函数仅在本采样点k处不 为零,其他(N-1)个采样点均为零。,内插函数的特性,2023/8/8,频响特性,单位圆上的z变换即为频响,代入其中：,2023/8/8,可见：是 和k的函数,令：从而有：,续1,显然：,即：在每个采样点上，精确的等于X(k)，而采样点之间的值由加权插值函数叠加而成。,2023/8/8,有限长N的序列x(n)的Z变换由单位圆上的N个独立采样值唯一确定。Z变换的两种表现形式：,总 结,2023/8/8,当x(n)为线性时不变系统的单位冲激响应h(n)时：即H(z)可看做是由N个采样带通滤波器并联构成。,总 结,2023/8/8,对连续信号，能用解析式精确表达其频谱信息。而实际应用中，信号受各种环境噪声或异常事件影响，不能明确知道信号的数学解析表达式，只能作数值分析。,利用计算机用DFT对包罗万象的信号进行分析和合成是当前主要的应用方法。,五、利用DFT对连续时间信号的逼近（选讲）,2023/8/8,图例1,%Matlab程序clear;clc;N=32;n=0:N-1;x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*sin(3*n*2*pi/N);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);hold on;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y),2023/8/8,图例2,%Matlab程序clear;clc;N=32;n=0:2*N-1;x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*sin(3*n*2*pi/N);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);hold on;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y),2023/8/8,图例3,%Matlab程序clear;N=32;n=0:N-1;x=power(0.9,n);y=fft(x);subplot(2,1,1);plot(x);hold on;stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(y),2023/8/8,续2,利用DFT对连续时间信号的逼近,2023/8/8,利用DFT计算连续时间信号的几个问题,一.混叠现象二.频率泄漏三.栅样效应 四.频率分辨力,2023/8/8,混叠现象,对连续信号xa(t)，采样频率fs，采样间隔Ts=1/fs,例,例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为，（2）信号的最高频率，试确定 以下参量：（1）最小记录长度;(2)抽样点间的最大时间 间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。,解：,（a）最小记录长度,（b）最大的抽样时间间隔T,(c)最小记录点数N,2023/8/8,频率泄漏,在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定时间间隔内，也 就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成在任一点的频率泄漏到其相邻频带中(拖尾现象)，称之为频谱泄漏。,2023/8/8,续1,1.泄漏导致了频谱的扩展，会造成混叠。2.减小泄漏，可取更长的数据。3.数据的截断应该缓慢，可加各种窗函数（FIR设计中有论述）,2023/8/8,栅栏效应,用DFT计算频谱时，只是知道为采样频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。在原序列x(n)上补零加密，使F变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。,2023/8/8,频率分辨力,对F01/T0，其中：F0频率间隔,T0信号长度。当信号x(n)补零，则：,好处：1)克服栅栏效应 2)可将N扩展为2M的长度，便于FFT计算。,但补零不能提高信号频域分辨力，因为时域信号的补零不会改变其频谱Xa(z)。,2023/8/8,补零不改变X(z)，不能提高信号分辨力。,分析,2023/8/8,时域离散信号的时域分析,时域离散信号的频域分析,用计算机来辅助分析频谱,非周期信号的频谱-DTFT（）周期信号的频谱-DFS(or 引入冲激的DTFT)将DTFT推广到ZT,1.由DFS推出DFT2.DFT的物理含义，与ZT,DTFT,DFS关系3.性质：隐含周期；线性；循环移位；循环卷积；复共轭的DFT；共轭对称性4.频域采样理论（三点）5.应用：（1）计算线卷，计算长线卷的方法（2）分析信号频谱（连续，离散，误差）,2023/8/8,下,课,2023/8/8,
