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选修系列4高考举例,选修系列4高考举例,选修系列4高考举例,普通高中课程标准实验教科书数学 选修4-1几何证明选讲简 介,一、内容与要求,1复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。2证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。3证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。,4了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。5通过观察平面截圆锥面的情境，体会圆锥曲线的来历，并能证明交线为椭圆时的一些几何性质（如椭圆的焦点、准线、离心率e，等等。）,主要内容及培养的能力,复习相似图形的性质。证明一些反映圆与直线关系的重要定理。进一步探索圆锥曲线的性质。提高学生空间想象能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。,二、课时安排及说明,1本专题分三讲，共18课时，具体分配如下（供参考）：第一讲相似三角形的判定及有关性质 约课时第二讲直线与圆的位置关系 约课时第三讲圆锥曲线性质的探讨 约课时学习总结报告 约课时,（1）三讲的内容相对独立，每一讲的内容自成体系，都依托于自身的逻辑起点而展开,2对内容安排的几点说明,一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质四、直角三角形的射影定理,第一讲以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。其中，基本数学思想方法是比例及其性质的应用。,第二讲以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理。,一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段,第三讲以“平行射影”为起点，充分利用图形直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中没有涉及的内容。,一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线,例如，在讨论“与圆有关的比例线段”（相交弦定理、割线定理、切割线定理）时，用到了相似三角形的判定定理；证明第三讲中的定理1、定理2时，用到了切线长定理这样就形成了一个系统的知识系这个系统中的知识点，由逻辑关系相互关联而形成紧密的联系。,（2）三讲内容有紧密的逻辑联系,三、编写中考虑的几个问题,1突出数学思想方法的渗透和理解本专题中的主要数学思想方法包括：特殊化思想方法、化归思想方法、分类思想方法、运动变化思想方法，涉及到观察、实验、猜想等合情推理的方法，也涉及到演绎推理、反证法、同一法等逻辑推理的方法,首先，通过一组实例，采用“操作确认”的方法，让学生在观察、测量的基础上用合情推理发现结论，得出猜想。这个过程渗透了从特殊到一般、化归等方法。,案例1 平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理,案例2 弦切角在获得平行线等分线段定理的猜想后，分如下步骤进行证明：先讨论特殊情形直线构成平行四边形；再讨论一般情形将一般情形化归为特殊情形。在获得“等分”情形下的证明后，再推广到“非等分”，即“成比例”的情形。而平行线分线段成比例定理的证明采用“非等分”化归为“等分”的方法。,先用运动变化思想，从圆内接四边形运动到极端情形（有两个顶点重合），由“圆内接四边形的外角等于它的内对角”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”。再用分类思想，把弦切角分为三类（以弦过圆心为分界点），先证明弦过圆心时命题成立，再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形。,案例2 弦切角定理,2强调知识的发生发展过程，培养学生的数学探究能力,在融合知识的发生发展过程和学生的认知过程的基础上，通过展示“过程”，引导学生领悟定理产生的背景，经历知识发展的过程，从而提高学生观察问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生的数学探究能力。,案例3 圆内接四边形的性质与判定定理,类比“任意三角形都有外接圆”，提出“任意四边形是否都有外接圆”的问题引发思考。引导学生从正方形、矩形等特殊四边形出发，考察内接于圆的四边形会有怎样的共同特征，得出圆内接四边形性质的猜想和证明。考察其逆命题是否成立，即证明圆内接四边形的判定定理。,编写特点：知识的发生是在类比“任意三角形都有外接圆”而提出的，做到了自然而水到渠成；从性质到判定，因有较多的条件可用，易于发现四边形内接于圆时的特征，方向性好；性质定理的考察中，运用了从特殊到一般的思路；判定定理的证明要同时用到分类讨论和反证法，教科书采取启发式讲授法，先讲证明，再归纳总结思想方法；让学生独立证明判定定理的推论。,3加强推理能力的培养,推理包括逻辑推理与合情推理措施：加强几何定理的产生过程，使合情推理的成分得到有效渗透，在得到几何定理的猜想中训练合情推理能力；给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程示范，让学生有学习和模仿的范例；及时总结和概括推理的思想方法，如分析法、综合法、反证法、同一法等，以及分类思想、化归思想、猜想与证明、从特殊到一般等等。,4加强几何直观能力的培养,强调在直观图形背景中的直观思考，给学生提供观察图形、建立联系、获得几何定理猜想的基础；强调运动变化过程中的图形直观，引导学生观察运动过程中图形的不变性；在从平面到空间的推广过程中，通过图形的变异提供图形直观的机会，加强空间想象能力的培养。,四、对教学的两个建议,1把握教学要求，控制教学难度 主要目的是通过证明一些反映圆与直线关系的重要定理，以及对圆锥曲线性质的探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力，并不是要对几何证明进行全面的复习和提高，因此，教学中一定要注意控制难度，不在几何难题上做文章。,注意根据教科书安排的学习线索，使学生有机会经历定理的发现过程和证明过程，并要适时地引导学生总结和概括相应的思想方法。特别要注意在“研究什么问题”和“如何研究这些问题”上多做引导。一定要避免为了让学生多做几个几何证明题而忽视定理的发现过程的做法。,2加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处,
