一阶微分方程的求解ppt课件.ppt
电路暂态分析的目的是为了得到电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下，求微分方程的初值问题,基本思想：在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点、处的函数 近似值、,当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步长，则,其近似值为：,近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。,前向欧拉法的几何意义：,在任一步长内，用一段直线代替函数 的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。,欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），A n（t n，y n），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），f（tn，y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。,例1.应用前向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据前向欧拉法,又,有：,【思路】用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。,微分方程 是一阶线性微分方程，可求出其通解：,则方程的解为：,从而有：,带入初值 可得,一阶非齐次线性微分方程,计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，为精确值）,正,分析：,当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不是很高。步长取定后，步数越多，误差越大。,二、后向欧拉法,其近似值：,在任一步长内，用一段直线代替函数 的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。,后向欧拉法的几何意义：,精确值,近似值,注：后向欧拉法的两种处理方式 前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式须解出yk+1.可用迭代法yk+1(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n)n=0，1，2，解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）,例2.应用后向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据后向欧拉法,又,计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，为精确值）,负,三.梯形法及其预估-矫正法,用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值,梯形公式（欧拉中点公式）,近似值：,改进欧拉法,显然，梯形公式是隐式法，一般求 需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：,然后将 替代梯形公式等式右边出现的,当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可,预报,校正,迭代次数,几何意义Euler法折线法改进Euler法平均斜率折线法,例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题,取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较,解：据前向欧拉法,梯形预估-矫正,计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算近似值，为精确值）,function T Y=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)%odefun:微分方程 a、b：计算区间%ya：初值 y(a)M：等分数目%T:离散的时间变量 Y梯形公式的预估校正法解h=(ab(2)-ab(1)/M;步长T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;for j=1:M k1=feval(odefun,T(j),Y(j);k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);end,Function y=euler_3_3_2(t,x)y=2/t*x+t2*exp(t）,T Y=Trapezia_reckon(euler_3_3_2,1 2,0,10),不同求解器的特点,在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时，往往又包含着多个变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性(stiff)”，描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。例如，电路某一变量以e-t缓慢衰减，而另一变量以e-1000t快速衰减，两变量时间常数相差很大，建立的常微分方程就具有“刚性”。刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模式控制，刚性问题解答的难度就在于其快变子过程的干扰。当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时，尽管快变分量的值已衰减到微不足道，但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度，一般地说，隐型方法比显型方法具有更大的稳定性，因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适.在MATLAB中，ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb适合求解刚性问题。,
