【教学课件】第四节定积分的应用举例.ppt
第四节 定积分的应用举例,一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长 五、定积分的其他应用,一 一、定积分的元素法,由第一节的实例（曲边梯形面积和变力作功）分析可见，用定积分表达某个量 分为四个步骤：,第一步，分割.把所求的量 分割成许多部分量，这需要选择一个被分割的变量 和被分割的区间。例如，对曲边梯形面积A，选择曲边 中的自变量 作为被分割的变量，被分割的区间是。对变力所作的功W，选择质点位置作为被分割变量，被分割区间是质点的位移区间。,第二步，近似。考察任一小区间 上 的部分量 近似值。对曲边梯形面积，在小区间 上，用直线,代替曲线，即以小矩形面积,代替小曲边梯形面积,，得,。对变力作功,，在小位移区间,上,用常力,代替变力,，得,的部分量,，类似地，,部分量,的近似值也应表成,的形式。,第三步，求和。,。,第四步，逼近。取极限得,实用上通常把上列四个步骤简化成三步，其步骤如下：,第一步，选变量。选取某个变量x作为被分割的变量，它就是积分变量，并确定x的变化范围，它就是被分割的区间，也就是积分区间。,第二步，求微元。设想把区间 分成n个小区间，其中任意一个小区间用 表示，小区间的长度，所求的Q量对应于小区间 的部分量记作。并取，求出部分量 的近似值。,近似值 称为Q的微元（或元素），记 作，。这里我们指出（但不作证明），作为 的近似值，其 误差应是小区间长度 的高阶无穷小，即 应满足,第三步，列积分。以量Q的微元 为被积表达式，在 上积分，便得所求量Q，即,上述把某个量表达为定积分的简化方法称为定积分的元素法，下面我们将应用这一方法来讨论一些问题。,二、平面图形的面积,例1 求由抛物线 与直线 围成的图形的面积。,解 画出图形如图6-11，联立曲线方程c：,解出它们的交点。,选择积分变量为横坐标x，积分区间为，对应于小区间 的窄条面积的近似值，即面积微元，即阴影部分小矩形的面积，于是 与x轴所围图形面积为,例2 求椭圆周 围城图形的面积。,例3 求由抛物线,于是所围区域面积为：,解 由联立方程 解得两曲线的交点为（4，2）和（1,1），如图6-13，选择y为积分变量，积分区间为，考察任一小区间 上一个窄条的面积，用宽为，高为 的小矩形面积近似，即得面积微元为，,如平面图形是由曲线,则其面积可对y积分得到,围成,如图6-14，则其面积可对x积分得到,一般的，若平面图形是由曲线,三、体积,1、旋转体体积,由连续曲线 及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转而成的旋转体，如图6-15所示，现在讨论它的体积V的计算方法。用垂直于x轴的平面截旋转体，所得截面都是圆，其面积为。现在我们用垂直于x轴的平行平面，把旋转体分割成n个小旋转体，即选择x为积分变量，积分区间为.考虑小区间 上小旋转体的体积，用以半径为 的圆为底，高为 的圆,柱体体积 作为近似，即得体积微元,于是，旋转体的体积为,解（1）取x为积分变量，积分区间为，对应于小区间 的小旋转体体积为，用小矩形（如图6-16（a）中阴影部分），绕x轴旋转而成的小圆柱体（如图6-16（b）体积作为近似，即得体积微元,于是，绕轴旋转而成的旋转体体积为,（2）取y为积分变量，积分区间为，对应于小区间 的小旋转体体积为，用图6-17（a）中阴影部分绕y轴旋转（如图6-17（b）中所示）所得的空心圆柱体体积作为近似，而空心圆柱体体积等于以dy为高、半径为1的圆柱体体积减半径为 的圆柱体体积，即得体积微元为,于是，绕轴旋转的旋转体体积为,2平行截面面积为已知的立体体积,对于一般的空间立体，如果它与某一轴线（如x轴）x相垂直的平面的截面面积 是一已知的连续函数，如图6-18，那么，根据元素，可取体积微元为,于是，空间立体的体积为,例5 设底面半径为a的圆柱体，被过圆柱底面直径AB且与地面成 角的平面所截，求截下的楔形体的体积（如图6-19）,解:取坐标系如图6-19所示，过任一点x，作垂直于x轴的截面，截面都是直角三角形，其面积为,选x为积分变量，积分区间为，与小区间 对应的体积，所以楔形体的体积为,五、定积分的其他应用,1、变力沿直线所作的功,例6设在O点放置一个带电量为+q的点电荷，由物理学知，电荷周围电场会对其他带电体产生作用力，今有一单位正电荷被从A点沿直线OA方向移至B点，求电场力对它作的功.,解取过点O，A的直线为 轴，OA的方向为 轴的正方向，设点A，B的坐标分别为。由物理学知，单位正电荷在点 时电场对它的作用力的大小为微元素功为于是从a到b所做的功为,例7 设有一直径为8m的半球形水池，盛满水，若将池中的水 抽干，问至少需做多少功？,其所受重力,解 建立直角坐标系，如图6-24，池壁与xOy平面的交线为半圆周 取x为积分变量，与小区间 对应的是厚度为dx的一层水，这层水的体积,其中水的密度 重力加速度 把这层水抽出，至少需提升x（单位：m）距离，故需作功至少为,因此，把水抽干需作的功至少为,2水压力,例8 设有一等腰三角形闸门，垂直 至于水中，底边与水面相齐，已知闸门底 边长为a（单位：m）,高为h(单位：m),试求闸门的一侧所受的水压力。,解 建立坐标系如图6-25，则三角形的一条腰的方程是,其上的压强近似等于gx(kN/),g为重力加速度，故其上所受的水压力,因为压强与水深成正比，同一深度的压强是相同的，于是将 闸门水平分割成小横条，即取变量x为积分变量，对应小 区 间 闸 门 上 有 高 为 dx 的 小 条，其 面 积,于是整个闸门所受的水压力为,例9某建筑工程打地基时，常需要用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力做功。设土层对桩的阻力大小与被打进地下的深度成正比（比例系数为k，k0），汽锤第一次击打将桩打进地下a（m），根据设计方案，要求汽锤每次击打所做的功与前一次击打所做的功之比为常数r（0r1）.求（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？,解（1）这是一个定积分中用元素法求做功问题,属于定积分在物理应用问题。根据题意知阻力为，其中 为汽锤将桩打入地下的深度，设 表示击打桩n次后在地下的深度（n=1,2）所以有,由 得到,即气锤击打3次后，可将桩打进地下,（2）用归纳法，假设，则,由题意可知，所以得到,由 得,经计算可以得,于是有,若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下,
