【教学课件】第四章静态场的解析法.ppt

第四章 静态场的解析法,唯一性定理,镜像法,格林函数法,分离变量法,已知边值(局部点)求分布(全部),解能唯一吗？,？,中国地质大学,4.1 唯一性定理,边值分类,1类：,2类：,3类：及,(=1+2),定义：满足给定边值(1、2、3类中任意一类)的拉普拉斯 方程(或泊松方程)的解是唯一的。,意义：表明，静态场中只要空间中的源和边界一定，那么，空间的场也就被唯一的确定。为求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。,这意味着，我们可绕开对复杂问题下的泊松方程的求解，而采用一些简单的方法，如：猜测、等效的方法。,从数学上看，不同的命题会有相同的方程和边值，因此 它们会有相同的解，但该解对每命题来说都是唯一的。,中国地质大学,4.1 唯一性定理,1、2都是方程：2=v/e 的解，那么：,即有：,证明：反证法，采用第1类边值,设：场有两个解1、2，令：=2 1,21=v/e及22=v/e 2=2221=0,同样，1、2若都是方程的解，那么也都应满足边值：,=,=,及,=0,由格林第一恒等式：(2+)dV=ds,将=0 及2=0 代入上式：dV=0,2,0 上式若成立，则必有=0，即:=常数,该=常数是整个域中的解，当然也包括边值，即：=常数=0 即：=2 1=0 故：2=1,中国地质大学,4.2 镜像法,镜像法,平面镜像法柱面镜像法球面镜像法,镜像法是一种等效的方法，解决是导体或介质在静电场中被感应后的场的分布问题。而场源仅限于点或线电荷,中国地质大学,一、平面镜像法,中国地质大学,二、球面镜像法,中国地质大学,三、柱面镜像法,中国地质大学,四、介质面镜像法*,问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。,分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。,中国地质大学,解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。,中国地质大学,2、建立 求解方程。镜像电荷 位于z0区域中，整个空间充满媒质2。位置与q重合。,3、在z=0面上应用电位边界条件,中国地质大学,五、例题,例题一,例题二,中国地质大学,镜像法小结,镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当 位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的 感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。,镜像法理论依据：唯一性定理。,镜像电荷位置选择原则：,1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。,2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。,中国地质大学,镜像法小结,x,q(l),mq,O,D,O,a,a,a=360o/n；n=2,4,6,当：0 a 时,=,R,mq,O,D,R,d,mh,-q,O,O,h,当：r R 时,=,l,O,D,R,O,q,R=mh/(m-1);R2=Dd D-mR;m1,l,mh,mh,O,D,R,d,mh,-l,O,h,当：R 时,=,l,R=mh/(m-1);R2=Dd D-mR;m1,平面球面柱面,R2=d1d2,l,-l,q(l),中国地质大学,4.3 格林函数法,v,中国地质大学,格林函数法就是一个积分公式:,(r)V中任一场点的电位(r)V中源点的电荷密度G(r,r)格林函数vdv 讨论(所求)的空间域G(r,r)；G(r,r)/n 格林函数的边值(r)；(r)/n 已知的边值条件sds 所讨论空间的边界面,定义：,s,可见，格林函数法就是利用边值(r)及(r)/n 通过积分求出有源或无源空间的位函数。,(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,中国地质大学,什么是格林函数？,指：单位源(即q=1或l=1)在一定的边界(即原命题的边界)条件下所建立的场的位函数，用G表示。G=(当q=1或l=1时),以q=1为例，写出以下常见情况的G：,1、无界空间：G=1/4r-r2、接地无穷大平板导体的半空间：G=1/r-r 1/r-r/43、接地球导体的内、外空间：G=m/r-r 1/r-r/4,O,q,r,r,r,mq,-q,O,q,P,r,r,r,由上可见格林函数是一距离函数 G(r,r)=G(r,r)这就是格林函数的对称性,4.3 格林函数法,原命题：2(r)=v(r)/;(r)s及(r)/n s格林函数：2G(r,r)=(r-r)/;G(r,r)s及G(r,r)/n s,推导：,由格林第二恒等式：G2(r)-(r)2G dV=sG(r,r)(r)/n_(r)G(r,r)/nds,中国地质大学,互换源点与场点的坐标且，由格林函数的对称性，得结果：,令：G(r,r)2(r)(r)2G(r,r)dV则：G2(r)(r)2GdV=-Gv(r)/+(r)(r-r)/dV=-Gv(r)/dV+(r)(r-r)/dV=-Gv(r)/dV+(r)/,(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/nds,(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,整理：,格林函数法的应用技巧：,中国地质大学,(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,若已知：第2类边值(r)/ns 则：取G(r,r)/ns=0因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n ds此时，对格林函数来说，要求解的是如下问题：,若已知：第1类边值(r)s 则：取Gs=0因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+s _(r)G(r,r)/n ds此时，对格林函数来说，要求解的是如下问题：,按上式求解须知第1、2类边值，这佷苛刻，求解也复杂。若在求解格林函数上，做合理安排，那么问题会简单:,2G(r,r)=(r-r)/;G(r,r)s=0,2G(r,r)=(r-r)/;G(r,r)/ns=0,例：,中国地质大学,(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,若已知：第2类边值(r)/ns 则：取G(r,r)/ns=0因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n ds,若已知：第1类边值(r)s 则：取Gs=0因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+s _(r)G(r,r)/n ds,有关格林函数的注意事项：,中国地质大学,(r)=(1/4)(v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds),2G(r,r)=(r-r)/,2G(r,r)=4(r-r),2G(r,r)=(r-r),(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,(r)=v(r)G(r,r)/dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds,由前面的推导中可知，格林函数若不完全按标准定义则格林函数法将有不同的表达式，常见的有三种：,由此可见：1、使用格林函数法应注意G与(r)的对应关系。2、不管使用哪一种，(r)的含义不变，三者相等。,4.4 分离变量法,中国地质大学,直角坐标分离变量法柱坐标分离变量法球坐标分离变量法,格林函数法是一种积分求解有源和无源区内电位解的方法分离变量法是一种微分求解无源区内电位解的方法(无源区，即：),分离变量方法：将一个多元微分方程分解为几个一元微分方程，然后再进行求解的方法。,中国地质大学,一、直角坐标分离变量法,1、分离变量：,将式 代入到：f(x)g h+g(y)f h+h(z)f g=0,为x,y,z的函数,则可令:=f(x)g(y)h(z),/:f(x)/f(x)+g(y)/g(y)+h(z)/h(z)=0,显然，分离的过程已实现,中国地质大学,一、直角坐标分离变量法,2、知识回顾：,若方程的一般形式：u(t)+a u(t)+b u(t)=0(A),则其特征方程:2+a+b=0,二阶一元常系数齐次微分方程及其解,特征根：1，2=(-a a24b)/2(该根有以下三种情况),重根(a2=4b)：1，2=-a/2 解：u(t)=(A1+A2t)exp(-at/2)(a)实根(a2 4b)：1，2 解：u(t)=A1 exp(1t)+A2exp(2t)(b)虚根(a2 4b)：1，2=(-a/2)j 解：u(t)=(A1cost+A2sint)exp(-at/2)(c),付里叶级数,任一周期函数u(t)，在周期T内绝对可积，则可展成,如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,中国地质大学,3、例：,中国地质大学,分离变量：,由前面已知：2/x2 2/y2=0,将式 代入到：f(x)g h+g(y)f h=0,为x,y的函数,则可令:=f(x)g(y),/:f(x)/f(x)+g(y)/g(y)=0,显然，若能知道kx 和 ky，那么式的解即可得然而，kx 和 ky是未知的，需要通过边值条件来确定的所以需要进入下一环节,一、直角坐标分离变量法,中国地质大学,一、直角坐标分离变量法,将式与式(A)相比，显然在此 a=0,b=-k2(k=kx或 ky)因此的特征根为：1，2=k 其可能的解为：,利用二阶一元齐次方程及其解,重根：1，2=0 解：u(t)=A1+A2t(a)实根：1=k，2=-k 解：u(t)=A1 exp(kt)+A2exp(-kt)(sh0=0 ch0=1)=B1 sh(kt)+B2ch(kt)(b)虚根：1，2=jk 解：u(t)=A1coskt+A2sinkt(c),究竟哪一个是解，取决于边值。判定的方法有多种,由式：kx=ky=实数 g(y)=B1 sh(kyy)+B2ch(kyy)由:(x,0)=0 则：f(x)g(0)=f(x)B2=0 f(x)0 B2=0,a、分析法：,式(a)、(b)是一单调函数，而当 x=0 和 a 时，=0显然(a)、(b)不适合 f(x)，因此适合 f(x)的解为式(c),即：1，2=jkx f(x)=A1cos kx x+A2sin kx x,由：(0,y)=0 则：f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0,故：(x,y)=A2sin kx x B1 sh(kyy)=Csin kx x sh(kyy),利用二阶一元齐次方程及其解,假设式(b)u(t)=B1 sh(kt)+B2ch(kt)是f(x)的解，则：由(0,y)=0 f(0)g(y)=B2 g(y)=0 g(y)0 B2=0 由(a,y)=0 f(a)g(y)=B1sh(ka)g(y)=0 sh(ka)g(y)0 B1=0,b、代入法：,假设式(a)u(t)=A1+A2t是f(x)的解，则：由(0,y)=0 f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0 由(a,y)=0 f(a)g(y)=A2 a g(y)=0 ag(y)0 A2=0,A1=A2=0 式(a)不是f(x)的解,假设式(c)u(t)=A1cos kx t+A2sin kx t是f(x)的解，则：由(0,y)=0 f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0 由(a,y)=0 f(a)g(y)=A2 sin kxa g(y)=0 当kxa=n 时：sin kxa=0 A2 0(n=0,1,2,3,),B1=B2=0 式(b)不是f(x)的解,A2 0 式(c)是f(x)的解 f(x)=A2sin kx x,由式：kx=ky=实数 g(y)=B1 sh(kyy)+B2ch(kyy),由:(x,0)=0 f(x)g(0)=f(x)B2=0 f(x)0 B2=0,故：(x,y)=A2sin kx x B1 sh(kyy)=Csin kx x sh(kyy),应用付里叶级数,由前可知：kx=ky=n/a 式,则式中的(x,y)n(x,y)即：n(x,y)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)y(n=0,1,2,3,)故：(x,y)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)y,u(t)=ao+(ancos nt+bnsin nt),bn=(2/T)u(t)sin nt dt,T o,=2/T,n=1,显然上式是一正弦付里叶级数，是一奇函数，因此：ao=an=0;=/a=2/T T=2a,n=o,由：(x,b)=U(x,b)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)b=U,n=o,bn=Cn sh(n b/a)=(4/2a)U sin(n/a)xdx=2U(1-cos n)/n,a o,Cn=2U(1-cos n)/n sh(n b/a)=4U/n sh(n b/a),故：(x,y)=4U/n sh(n b/a)sin(n/a)x sh(n/a)y,n=1,3,(n=1,3,5),解毕,、建方程：,导体槽在Z向为无限长 为x,y的函数，即：=(x,y)导体槽内为无源区 2=0 2/x2 2/y2=0,如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,中国地质大学,例2：,、写边值：,由题意可得,分离变量、解方程：利用二阶一元齐次方程及其解、应用付里叶级数,(0,y)=0,(a,y)=0,(x,0)=0,(x,b)=U,解,中国地质大学,二、柱坐标分离变量法,1、分离变量：,由定义：,代到：f()gh+f()gh/+g()fh/2+h(z)f g=0,为,z的函数,则可令:=f()g()h(z),/:f()/f()+f()/f()+g()/2 g()+h(z)/h(z)=0,f(),g(),h(z)分别独立式若成立，则h(z)/h(z)必为常数 即有：h(z)/h(z)=k2z h(z)k2z h(z)=0,2 2 2 2 22 z2,2=+,2:2 f()/f()+f()/f()+g()/g()+2k2z=0,与上同理，式若成立，则g()/g()项必为常数,即有：g()/g()=-m2 g()+m2 g()=0,f()：2 f()+f()+(2k2z-m2)f()=0,显然，分离的过程已实现,中国地质大学,二、柱坐标分离变量法,2、对式、的分析：,证明：g()+m2 g()=0,式、一元二阶常系数齐次方程，而式 是贝塞尔方程,的取值为(0,2)，且由唯一性定理可知，当 一定：g()=g(+2)称自然周期条件式的可能解为式(a),(c)。,z的取值为(-,)式的可能解为式(a),(b),(c)。,若 m=0，则解为：g()=A1+A2 再由g()=g(+2)则有：A1+A2=A1+A2+A22，20 A2=0,若 m2 0，则解为：g()=B1 sh(m)+B2ch(m)再由g()=g(+2),且令：=0 则有：g(0)=B2；g(2)=B1 sh(2m)+B2ch(2m)显然：g(0)g(2)，即式(b)不满足自然周期条件,这说明m2 0时，式(b)不是式的解。,这说明m=0时，g()=A1是式的解。,中国地质大学,二、柱坐标分离变量法,若 m2 0，则解为：g()=A1 cos(m)+A2sin(m)、若讨论空间为满空间，即：(0 2)则：g(+2)=A1 cos(m)cos 2m A1sin(m)sin 2m+A2 sin(m)cos 2m+A2 cos(m)sin 2m,显然：若要满足自然周期条件，则必有m=1,2,3整数,这说明m2 0时，式(c)是式的解。,、若讨论空间为角空间，即：(0 a)为讨论方便，且又不失一般性，可设边值为齐次解，即：g(0)=g(a)=0则：g(0)=A1=0 解：g()=A2sin(m)g(a)=A2sin(ma)=0 ma=n 显然，此时m的取值为分数角空间不必满足自然周期条件,a,0,0,中国地质大学,二、柱坐标分离变量法,3、贝塞尔方程及其解：,贝塞尔方程：2 f()+f()+(2k2z-m2)f()=0,若k2z0 则解：f()=A1 Jm(kz,)+A2Nm(kz,),Jm(kz,)第一类贝塞尔函数Nm(kz,)第二类贝塞尔函数,若k2z0 则解：f()=A1 Km(kz,)+A2Im(kz,),Km(kz,)，Im(kz,)修正贝塞尔函数,贝塞尔函数的求解采用的是查表或曲线的方法,中国地质大学,二、柱坐标分离变量法,4、欧拉方程及其解：,若 kz=0 则：2 f()+f()-m2 f()=0 欧拉方程,其解,m 0:f()=Am m+Bm-m m=0:f()=Ao+Bo ln,kz=0 实质上是将三维空间 二维空间(即极坐标),综合以上所有的分析和讨论，可得极坐标下的通解：,(,)=Ao+Bo ln+(Am m+Bm-m)(A1m cos(m)+A2msin(m),m=o,、建方程：,导体槽在Z向为无限长 为x,y的函数，即：=(x,y)导体槽内为无源区 2=0 2/x2 2/y2=0,如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,中国地质大学,5、例：,、写边值：,由题意可得,分离变量、解方程：利用二阶一元齐次方程及其解、应用付里叶级数,(0,y)=0,(a,y)=0,(x,0)=0,(x,b)=U,解,很明显，为x,y的函数。则可令,代入方程得,中国地质大学,要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令,中国地质大学,通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。,当k0时：,中国地质大学,由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取一系列特定的值kn(n=1,2,3），即：,中国地质大学,中国地质大学,由条件（4）,将u在（0，a)区间展开为 傅立叶级数,中国地质大学,所以，接地导体槽内部电位分布为,一、平面接地导体边界,1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像,原问题：无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q：z=h求空间中电位分布。,等效问题：要求：与原问题边界条件相同原电荷：q:z=h镜像电荷(等效电荷):-q-z=-h取消导体边界面，z0空间媒质充满整个空间。,由等效问题，可以求出在z0空间内的电位分布为：,2、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为，则所有镜像电荷数目为2n-1个。,二、点电荷对球面导体分解界的镜像,在空间中任意点 处电位为：,由边界条件可知：,讨论：若点电荷q位于接地导体球壳内：,处理方法：电位叠加原理,处理过程：1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3、均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效。,球外空间某点电位为：,三、线电荷对导体圆柱分解界的镜像,如图：线电荷位于导体圆柱外，距离轴心d。设镜像线电荷为，与轴心距离为。,由边界条件：,结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为,四、点电荷对电介质分解面的镜像,解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。,2、建立 求解方程。镜像电荷 位于z0区域中，整个空间充满媒质2。位置与q重合。,3、在z=0面上应用电位边界条件,五、例题,例题一,例题二,例题一 真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为d（da）。求：（1）导体球接地时空间电位分布及电荷Q受电场力；（2）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q受电场力；,解:(1)当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q，不存在边界的问题。易知：,则球外空间任意点 处电位为：,电荷Q受静电力为：,导体球接地，因此球内空间电位为0。,(2)当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q和q，不存在边界的问题。易知：,位置位于球心。,则球外空间任意点 处电位为：,例题二 两无限长平行导体圆柱，半径均为a，轴线距离为d，求：两导体间的电容。,解：设两圆柱体分别带电 和。,分析：带电导体圆柱可用位于镜像位置的线电荷等效。,由分析可知，原问题可等效为位于镜像位置的两线电荷间电容的问题。求解关键在于求解等效电荷位置。,如图：由镜像电荷位置关系，有,等效问题：两无限长线电荷构成的系统。,易知，在导体球面上电位分别为,第四章作业,分离变量法,4.4,平面导体的镜像,4.21,4.22,球面镜像习题,不接地空心导体球内外径分别为a和b，在球内、外分别放置两点电荷q1和q2，如图所示。求:q1和q2分别受到的电场力。,提示：q1只受导体内表面感应电荷力的作用；,q2受导体内表面感应电荷、外表面感应电荷的作用；,