【教学课件】第四章随机变量的数字特征.ppt
1,第四章 随机变量的数字特征,2,前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.例如,在评价某地区粮食产量水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如,在评论一批棉花的质量时,即要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.,3,实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接,更简洁,更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征:数学期望,方差,相关系数,矩.,4,4.1 数学期望,5,首先从一个例子说起,假设一个班共20人,其中18岁的有6人,19岁的有10人,20岁的有4人,现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数X为一随机变量,不难求出X的分布率如下表所示.,6,现在要计算这个班的学生的平均年龄,有两种计算办法,第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来,再除以这个班的人数20人,即6个18岁,10个19岁,4个20岁加起来得平均年龄为,7,第二种办法是统计的办法,实际情况更有用,就是通过对随机变量X进行一遍又一遍地重复试验,假设这试验一共做了n次,而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为n18,n19,n20次,则将这n次试验所获得的年龄数统统加起来除以n就是统计平均的年龄,8,当然,统计平均值X 与准确计算的平均值EX还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时,统计平均值X就趋近于数学期望EX了.,9,一,离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物,作出决策等具有重要作用.例如,某商场计划于5月1日在户外搞一次促销活动,统计资料表明,如果在商场内搞促销活动,可获得经济效益3万元;在商场外搞促销活动,如果不遇到雨天可获得经济效益12万元,遇到雨天则带来经济损失5万元;若前一天的天气预报称当日有雨的概率为40%,则商场应如何选择促销方式?,10,显然商场该日在商场外搞促销活动预期获得的经济效益X是一个随机变量,其概率分布为PX=x1=PX=12=0.6=p1,PX=x2=PX=-5=0.4=p2,要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较,如何求得平均效益呢?要客观地反映平均效益,即要考虑X的所有取值,又要考虑X取每一个值时的概率.,11,称这个平均效益5.2万元为随机变量X的数学期望.,12,13,例1 甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为,解 计算X1和X2的数学期望,得E(X1)=00+10.2+20.8=1.8(分)E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5(分)很明显,乙的成绩远不如甲的成绩.,14,例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数l=0.8的泊松分布,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超过4个为废品.求(1)产品的废品率;(2)产品价值的平均值.,15,解 设X代表每件产品上的疵点数,由题意知l=0.8.(1)因为,所以产品的废品率为0.001412.,16,(2)设Y代表产品的价值,那么Y的概率分布为,所以产品价值的平均值为,17,二,连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则X落在小区间xi,xi+1)的概率为,xi,xi+1,阴影面积f(xi)Dxi,f(x),x,y,O,18,此时,概率分布,19,定义2 设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果,绝对收敛,定义X的数学期望为,20,注:并非所有随机变量都有数学期望.例如,若X的密度为,由于广义积分,发散,所以E(X)不存在.,21,例3 已知随机变量X的分布函数,求E(X).解 随机变量X的分布密度为,故,22,例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为X(以年计),规定:X1,一台付款1500元;13,一台付款3000元.X的概率密度,求一台电器收费Y的数学期望.,23,解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率.即有,24,则Y的分布律为,得E(Y)=2732.15,即平均一台收费2732.15元.,25,例5 设随机变量Xf(x),E(X)=7/12,且,求a与b的值,并求分布函数F(x).解 由题意知,26,解方程组得a=1,b=1/2.当0 x1时,有,所以,27,三,随机变量函数的数学期望设X是随机变量,g(x)为实函数,则Y=g(X)也是随机变量,理论上,虽然可通过X的分布求出g(X)的分布,再按定义求出g(X)的数学期望Eg(X).但这种求法一般比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.,28,定理1 设X是一个随机变量,Y=g(X),且E(Y)存在,则(1)若X为离散型随机变量,其概率分布为PX=xi=pi,i=1,2,则Y的数学期望为,(2)若X为连续型随机变量,Xf(x),则,29,定理2 设(X,Y)是二维随机向量,Z=g(X,Y),且E(Z)存在.则(1)若(X,Y)为离散型随机向量,其分布率为P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)则Z的数学期望为,(2)若(X,Y)为连续型随机变量,(X,Y)f(x,y),则,30,例6 设(X,Y)的联合概率分布为,求E(X),E(Y),E(XY).解 其实X,Y,XY都可以看作是(X,Y)的函数而套用(1.5)式.因此有,31,计算E(X):,xipij:,求和,32,计算E(Y):,yjpij:,求和,33,计算E(XY):,xiyjpij:,求和,34,例7 设随机变量X在0,p上服从均匀分布,求E(sinX),E(X2)及EX-E(X)2.解 由定理1,有,35,36,37,函数不为0的区域:,y=x,xy=1,x,y,O,38,解,39,40,例9 设某商店经营一种商品,每周的进货量X和顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量,均服从10,20上的均匀分布,此商店每售出一个单位的商品可获利1000元,若需求量超过进货量可从其他商店调剂供应,此时售出的每单位商品仅获利500元.求此商店经销这种商品每周获利的期望.,41,解 设此商店经销该商品每周可获利L元.依题有,而(X,Y)的联合概率密度为,42,L(X,Y)的分块的不为0区域,x,y,0,10,20,10,20,D1,D2,43,故该商品每周期望获利为14167元.,44,四,数学期望的性质1.设C是常数,则E(C)=C2.若C是常数,则E(CX)=CE(X);证明 只对离散型情形进行证明,设X的概率分布为PX=xi=pi,(i=1,2,),由定理1,有,45,3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);注:这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.4.设X,Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y);证明 只对连续型情形证明,设(X,Y)的联合密度为f(x,y),其边缘概率密度分别为fX(x)和fY(y),由定理2知,46,因为X和Y相互独立,f(x,y)=fX(x)fY(y),所以有,注:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立.,47,例如,在例6中,我们已计算得E(XY)=E(X)E(Y)=9/4,但PX=1,Y=0=0,PX=1=3/4,PY=0=1/8,显然PX=1,Y=0PX=1PY=0故X与Y不独立.,48,例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立.,49,解 引入随机变量,易知X=X1+X2+X10.按题意,任一旅客不在第i站下车的概率为9/10,因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20,也就是PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20,i=1,2,10.,50,PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20,i=1,2,10.由此E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,10.进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784(次),51,注:本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望,这种处理方法具有一定的普遍意义.,52,课堂练习1.设甲,乙两人玩必分胜负的赌博游戏,假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率不等,甲为p,乙为q,pq,p+q=1.为了补偿乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等,甲为a,乙为b,ab.现在的问题是:a究竟应比b大多少,才能做到公正?,53,2.某种新药在400名病人中进行临床试验,有一半人服用,一半人未服,经过5天后,有210人痊愈,其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3.把数字1,2,n任意地排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望.,
