【教学课件】第六节重因式.ppt

如果k=0，那么p(x)根本不是f(x)的因式；,如果k=1，那么p(x)称为f(x)的单因式；,如果k1，那么p(x)称为f(x)的重因式.,第六节 重因式,返回,因为没有一般的方法来求一个多项式的标准分解式，判别有没有重因式的问题就需要用另外的方法解决.,显然，如果f(x)的标准分解式为,那么p1(x),p2(x),ps(x)分别是f(x)的r1重,r2重,，rs重因式.指数 ri=1 的那些不可约因式是f(x)的单因式；指数 ri 1 的那些不可约因式是f(x)的重因式.,返回,设有多项式,我们规定它的微商是比f(x)低一次的多项式，记为,这种规定是来源于数学分析，但是在目前的情况下，我们只把它当作是一个形式的定义.通过直接的验证，可以得出关于多项式微商的基本公式：,返回,返回,一个n 次多项式的微商是一个n-1次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的n+1阶微商于零.,同样可以定义高阶微商的 概念.微商 称为f(x)的一阶微商；的微商 称为的二阶微商；等等.f(x)的k 阶微商记为.,定理6 如果不可约多项式p(x)是f(x)的 k 重因式(k 1)，那么它是微商 的 k-1重因式.,证明 由假设，f(x)可以分解为,其中p(x)不能整除g(x)，因此,返回,这说明.如果令,那么 p(x)整除等式右端第二项，但不能整除第一项，因此p(x)不能整除h(x)，从而 不能整.这说明p(x)是 的k-1重因式.证毕.,返回,证明 根据定理6，对k作数学归纳法即得.,推论1 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k(k 1)重因式，那么p(x)是 的因式，但不是 的因式.,推论2 不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f(x)的公因式.,证明 f(x)的重因式必须是 的因式；反过来，如果f(x)的不可约因式也是 的因式，它必定不是f(x)的单因式.证毕.,这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.,返回,推论3 多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是 f(x)与f(x)互素.,有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时，我们通常希望所考虑的多项式没有重因式.为此，以下的结果有用的.,这是一个没有重因式的多项式，但是它与f(x)具有完全相同的不可约因式.因此，这是一个去掉因式重数的有效办法.,返回,设f(x)具有标准分解式,根据定理6，f(x)与 的最大公因式必须具有标准分解式,于是,解 不一定，例如 p(x)=x，f(x)=x3+5.,返回,例 若不可约多项式p(x)是 的k-1重因式，问p(x)是不是f(x)的k重因式.,p(x)是 的二重因式，但p(x)并非f(x)的三重因式.,例 判断下面多项式有无重因式,返回,解 1.由于,故f(x)有重因式，而且 x-2 是 f(x)的一个三重因式.,2.由于，故f(x)无重因式.,