【教学课件】第六节数列的综合问题.ppt

第六节数列的综合问题,第五章数列,第六节数列的综合问题,能利用等差、等比数列的有关知识解决数列的综合问题,一、等差、等比数列的一些重要结论1等差数列an中，若mnpq，则amanapaq.2等比数列an中，若mnpq，则amanapaq.3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等差数列4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等比数列(m为偶数且公比为1的情况除外),5两个等差数列an与bn的和、差的数列anbn，anbn仍为等差数列6两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn，仍为等比数列7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列9若an为等差数列，则can(c0)是等比数列10若bn(bn0)是等比数列，则logcbn(c0且c1)是等差数列,三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1对于等差数列ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列若等差数列的前n项和为Sn，则Snpn2qn(p、qR)当p0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题,2对于等比数列ana1qn1，可用指数函数的性质来理解当a10，q1或a10,0q1时，等比数列an是递增数列；当a10,0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列；当q1时，是一个常数列；当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列,1(2011上海市徐汇区诊断)设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件,C,2(2012黄山市模拟)设数列an的前n项和为Sn(nN*)，关于数列an有下列三个命题：若数列an既是等差数列又是等比数列，则anan1；若Snan2bn(a，bR)，则数列an是等差数列；若Sn1(1)n，则数列an是等比数列这些命题中，真命题的个数是()A0B1C2D3,解析：不妨设数列an的前三项为ad，a，ad，则其又成等比数列，故a2a2d2，d0，即anan1；由Sn的公式，可求出an(2n1)ab，故an是等差数列；由Sn可求出an2(1)n1，故数列an是等比数列故选D.答案：D,3(2012湖南师大附中测试)在数列an和bn中，bn是an与an1的等差中项，a12且对任意nN*都有3an1an0，则数列bn的通项公式为 _.4(2011南京外国语学校调研)公差为d(d0)的等差数列an中，Sn是an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有_,bn43n,等差、等比数列知识的综合,公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q.,1四个数，前三个数成等比数列且和为19，后三个数成等差数列，且和为12，求此四个数,数列与函数知识的综合,(2011陕西卷)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn.记Pk 点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；,数列中各方面知识的综合,已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2，)，a11.(1)设数列bnan12an(n1,2，)，求证：数列bn是等比数列；(2)设数列cn(n1,2，)，求证：数列cn是等差数列；(3)求数列an的通项公式及前n项和,思路点拨：由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有Sn 1 4an2，可由Sn 2 Sn 1 作切入点探索解题的途径,解析：(1)由Sn 1 4an 2，Sn 2 4an 1 2，两式相减，得Sn 2 Sn 1 4(an 1 an)，即an24an14an.an22an12(an12an)，又bn an12an，所以bn12bn，已知S2 4a12，a11，a1a24a12，解得a25，b1a22a13，由和得，数列bn是首项为3，公比为2的等比数列，故bn32n1.,当n2时，Sn 4an1 22n1(3n4)2；当n1时，S1 a1 1也适合上式综上可知，所求的前n项和公式为Sn 2n1(3n4)2.点评：本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差、等比数列，求数列通项与前n项和，解决本题的关键在于由条件Sn14an2得出递推公式,3.(2010徽州市模拟)在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn，证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.,解析：(1)证明：an12an2n，bn1bn1，则bn为等差数列，b11，bnn，ann2n1.(2)Sn120221(n1)2n2n2n1，2Sn121222(n1)2n1n2n，两式相减，得Snn2n2212n1n2n2n1.,数列与指数、对数及三角函数的综合,(2011安徽卷)在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntan antan an1，求数列bn的前n项和Sn.,解析：(1)设t1，t2，tn2构成等比数列，其中t11，tn2100，则Tnt1t2tn1tn2，Tntn2tn1t2t1，并利用titn3it1tn2102(1in2)，得T2n(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2)，anlgTnn2，n1.,数列与不等式的综合,(2011广州市调研)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn1an(nN*)各项为正数的数列bn中，对于一切nN*，有 且b11，b22，b33.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列anbn的前n项和为Tn，求证：Tn2.,b3b2b2b11，数列bn为等差数列b11，b22，数列bn的公差d1.bn1(n1)n.,数列与算法的综合,(2011深圳市二模)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a1，a2，an，nN*，n2011.(注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”)(1)若输入，写出输出结果；(2)若输入2，令bn，证明bn是等差数列，并写出数列an的通项公式,6(2012常州市模拟)根据如图所示的程 序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，xn，x2012；y1，y2，yn，y2012.(1)求数列xn的通项公式xn；(2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列 yn的一个通项公式yn，并证明你的结论；(3)求Znx1y1x2y2xnyn(xN*，n2012),解析：(1)由框图，知数列xn中，x11，xn1xn2，xn12(n1)2n1(nN*，n2012)(2)由框图，知数列yn中，yn13yn2，y12，y28，y326，y480.由yn13yn2，得 yn113(yn1)，3，y113.数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列yn133n13n，yn3n1(nN*，n2012),(3)Znx1y1x2y2xnyn1(31)3(321)(2n1)(3n1)13332(2n1)3n13(2n1)记Sn13332(2n1)3n，则3Sn132333(2n1)3n1，,，得2Sn323223323n(2n1)3n12(3323n)3(2n1)3n12 3(2n1)3n13n16(2n1)3n12(1n)3n16，Sn(n1)3n13.又13(2n1)n2，Zn(n1)3n13n2(nN*，n2012),数列的实际应用,(2011湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新,7(2012柳州市模拟)某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线，经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就有一辆车到达并投入工作，问指挥部至少还须组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防堤，并说明理由,n2145n30000，即(n25)(n120)0，25n120.nmin25，n124.故至少还须组织24辆车陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防堤,数列创新问题,(2011济宁市模拟)已知数列an，bn，cn的通项公式满足bnan1an，cnbn1bn(nN*)，若数列bn是一个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若数列cn是一个非零常数列，则称数列an是二阶等差数列(1)试写出满足条件a11，b11，cn1的二阶等差数列an的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列an的通项公式an；(3)若数列an首项a12，且满足cnbn13an2n1(nN*)，求数列an的通项公式,解析：(1)因为bnan1an，cnbn1bn(nN*)，故此由a11，b11，cn1，得a2b1a12，b2b1c12，a3b2a24，b3b2c23，a4a3b37，b4b3c34，a5a4b411.(2)依题意 bn1bncn1，n1,2,3，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b111111n.又an1anbnn(n1,2,3，)，,所以an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(n2)2111.(3)由已知cnbn13an2n1，可得bn1bnbn13an2n1，即bn3an2n1，an14an2n1，(法一)整理得an12n14(an2n)，因而数列an2n是首项为a124，公比为4的等比数列，an2n44n14n，即an4n2n.,3解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力；解题时应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差(比)数列模型，再结合其他知识求解4解答数列综合问题的注意事项(1)关键是如何将它转化为数学问题；(2)要重视审题、精心联想、沟通联系；(3)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.,品味高考,1(2011江苏卷)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_,2(2011广东卷)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.参考公式：anbn(ab)(an1an2babn2bn1)，其中n是正整数,高考预测,1(2012上海市虹口区模拟)已知数列an满足a116，an1an2n，则 的最小值为()A8B7C6D5,B,2(2011佛山市二模)已知数列an，bn中，对任何正整数n都有a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1.(1)若数列bn是首项为1和公比为2的等比数列，求数列an的通项公式；(2)若数列an是等差数列，数列bn是否是等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；,解析：(1)依题意，数列bn的通项公式为bn2n1，由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1，可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11(n2)，两式相减，可得anbnn2n1，即ann.当n1时，a11，从而对一切nN*，都有ann.所以数列an的通项公式是ann.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,