【教学课件】第八节多元函数的极值及其求法.ppt

第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值及最大值、最小值,二、条件极值 拉哥朗日乘数法,1.二元函数极值的定义,一、多元函数的极值和最大值、最小值,因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.,2.多元函数取得极值的条件,证明,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,解方程组,求得驻点为,再求二阶偏导数,第一步,第二步,第三步,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3.多元函数的最大值与最小值,将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,求最值的一般方法：,解,如图所示,解方程组,比较后可知,例6 某厂要用铁板作成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的 尺寸时,才能使用料最省.,解,水箱所用材料的面积为,即,解方程组,解得,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,解,则,解,化简为,所求四面体的为,可得,即,练习题,