【教学课件】第八章非线性控制系统.ppt

第八章 非线性控制系统,Nonlinear Control System,内容提要,8.1 概述8.2 相平面图8.3 奇点和极限环8.4 非线性系统的相平面图分析8.5 非线性特性的描述函数8.6 用描述函数分析非线性系统,8.1 概述,典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法,一、典型非线性特性,(一)饱和非线性(Saturation nonlinear),(二)死区非线性(Dead zone nonlinear),一、典型非线性特性,(三)间隙非线性(Backlash nonlinear),一、典型非线性特性,(四)继电器型非线性,(On-off nonlinear),二、非线性系统的运动特点,(一)稳定性 与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。,研究时应注意：1、系统的初始条件；2、系统的平衡状态。,二、非线性系统的运动特点,(二)系统的零输入响应形式,非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。,二、非线性系统的运动特点,(三)极限环（自激振荡）,(四)频率响应,系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：,频率响应,三、非线性系统的研究方法,相平面法(Phase-plane technique)适用于一阶、二阶系统描述函数法(Describing function technique)是一种等效线性化方法计算机仿真(Computer simulation),8.2 相平面图,相平面法(Phase-plane technique)是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。,一、相平面图的基本概念,二阶系统,以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为相平面(phase plane)。在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹(phase trajectory)。,二、相平面图的绘制,(一)相平面图的特点,1、对称性,b、关于x轴对称,c、关于原点对称,2.奇点和普通点,(一)相平面图的特点,(一)相平面图的特点,3.相轨迹通过x轴的斜率,(一)相平面图的特点,在相平面的上半平面，系统状态沿相轨迹由左向右运动；在下半平面，系统状态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。,4.相轨迹移动的方向,相轨迹方程,(二)绘制相平面图的解析法,例8.1,试绘制二阶系统,的相平面图,解：系统方程改写为,积分得相轨迹方程,图解法是通过逐步作图的方法，不必解出微分方程，而把结果直接描绘在相平面上。常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。在等倾线法中，首先用等倾线来确定相平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相轨迹曲线。,(三)绘制相平面图的图解法等倾线法(Isocline method),相轨迹的斜率方程为,给定一组a值，可求得一组等倾线族。利用等倾线族，可以确定相平面中任意一点相轨迹的斜率。,设系统方程为,例8.2,解：,三、由相轨迹求时间响应曲线,根据系统的相轨迹可以采用图解计算的方法，从相轨迹逐步求出时间信息，从而获得系统的时间响应曲线x(t)。这里我们介绍一种称为按平均速度求时间信息Dt的方法。,8.3 奇点和极限环,一、奇点(Singular point),二、奇点的类型,(1)0 x 1,两个实部为负的共轭复根,(2)0 x-1,两个实部为正的共轭复根,(3)x 1,两个负实根,(4)x-1,两个正实根,(5)x 0,两个实部为零的共轭复根,两个异号实根,(6),三、极限环,极限环(limit cycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。,(1)稳定极限环,(2)不稳定极限环,(3)半稳定极限环,例8-3,分析如下系统的稳定性,解：,8.4 非线性系统的相平面分析,一、继电型控制系统的分析,根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。,在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。,根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。,若继电元件有死区,二、非线性增益控制系统分析,在线性系统中，增益的选择需要兼顾调节时间，超调量及振荡次数等性能指标。在线性系统中只能选取折中方案。若采用非线性校正，则可能得到较好效果。,e=r-c,(一)阶跃响应分析,(二)斜坡响应分析,三、二阶时间最优控制系统的分析及综合,电动机 Mmax=Km Imax,加速度Cmax=Mmax/J,设电动机的传递函数为Km/s,则,8.5 非线性特性的描述函数,一、谐波线性化,描述函数(describing function)是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。,输入信号x(t)=Xsinwt,方波信号的富里叶级数,推广到一般情况，设输出信号可以表示为富氏级数形式:,式中,若非线性特性具有奇对称特性，则A0=0,式中,二、描述函数(describing function),非线性元件输出信号y(t)中的一次谐波分量y1(t)与正弦输入信号x(t)的复数比，称为非线性元件的描述函数(describing function)，其数学表达式为,式中：,X为非线性元件正弦输入信号的振幅；,Y1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的振幅；,f 1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的角位移。,三、典型非线性特性的描述函数,(一)饱和非线性,饱和非线性输出,从图中可得,饱和非线性的描述函数为,(二)死区非线性,非线性的输出,死区非线性的描述函数为,(三)具有死区和滞环的继电器型非线性,非线性的输出,式中：,由于具有死区和滞环的继电器特性是对原点多值奇对称，它在正弦输入作用下的输出量y(t)既不是奇函数又不偶函数，所以A1和B1都必须计算，但A0=0,于是具有死区和滞环继电器的描述函数为,8.6 用描述函数分析非线性函数,非线性系统的典型结构及基本假设,非线性系统的稳定性分析,非线性系统自激振荡的稳定性分析,非线性系统结构图的简化,对非线性系统进行分析，首先考虑的是稳定性和自激振荡问题。,描述函数法对于系统的稳定性、产生自激振荡的条件、自激振荡的振幅和频率的确定、以及如何抑制自激振荡等问题，都能够给出比较符合实际的解答。,一、非线性系统的典型结构及 基本假设,一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下，环节输出的一次谐波分量与输入的关系。,如果这个系统发生了自激振荡，我们总可以假定非线性环节输入端的振荡是接近于正弦波的形式。,描述函数法对系统的基本假设是：,1、可归化为下图所示的典型结构。,2、非线性部分输出中的高次谐波振 幅小于基波振幅。,3、线性部分的低通滤波效应较好。,二、非线性系统的稳定性分析,若已知系统中非线性特性的描述函数N(X)和线性部分的频率特性G(jw)，则系统的特征方程为,1+N(X)G(jw)=0 或 N(X)G(jw)=-1,可改写为,线性系统的特征方程为 G(jw)=-1,根据复平面内系统的开环频率特性G(jw)曲线与临界点(-1，j0)的相对位置，应用乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，可以分析线性控制系统的稳定性。,在同一复平面内画以w 为参变量的系统线性部分的频率特性G(jw)曲线和以X为参变量的非线性特性的负倒描述函数-1/N(X)曲线，根据两者的相对位置，应用乃奎斯稳定性判据，可以分析谐波线性化后非线性系统零平衡状态的稳定性。,可以把乃奎斯特稳定判据，推广应用于谐波线性化的非线性系统，需要修改的仅仅是将复平面内的临界点(-1，j0)扩展为临界曲线-1/N(X)曲线。,利用乃奎斯特稳定性判据，如果-1/N(X)曲线不被G(jw)曲线包围，则系统的零平衡状态是稳定的。,如果-1/N(X)曲线被G(jw)曲线全部包围或部分包围，则系统状态在干扰作用下，不能回到零平衡状态，所以系统就是不稳定的。,三、非线性系统自激振荡的稳定性分析,在复平面内G(jw)曲线与-1/N(X)曲线有交点，如果干扰使系统的工作点由交点处变动到X稍微增大的新工作点处，不被G(jw)曲线包围，则该交点处的自激振荡是稳定的。如果系统的工作点由交点处变动到X稍微增大的新工作点被G(jw)曲线包围，则该交点处的自激振荡是不稳定的。,分析非线性系统自激振荡稳定性的判据为：,例8.4,解：,令G(jw)的虚部为零,求得交点处的频率w,1-w 2=0,代入G(jw)的表达式，得,w=1(弧度/秒),自激振荡的参数为X=8M/p，w=1。,例8.5,交点的坐标为,四、非线性系统结构图的简化,为了应用描述函数法分析系统的稳定性及自激振荡，需要将实际系统的各种结构形式归化为典型结构。,在讨论自激振荡时，只研究系统内部的周期运动，并不考虑外部作用。因此，在将结构图归化时，可以认为所有外作用均为零。,在结构归化时，可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加的特性求其描述函数N(X)。也可以先求各非线性的描述函数N1(X)和N2(X),并联非线性特性的描述函数则为N(X)=N1(X)+N2(X)。,当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特性等效为一个特性，然后求总描述函数N(X)。,应当注意，调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更动位置，这一点是与线性环节串联有所区别的。,本章小结,介绍了非线性系统的特点，不满足叠加原理；非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件及外输入有关；描述函数法基于谐波分析相平面法基于图解,