【教学课件】第五节因式分解定理.ppt

在这一节，我们讨论多项式的因式分解.在中学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积.但那里并没有深入地讨论这个问题.那里所谓不能再分，常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意思，并没有严格地讨论它们确实不可再分.所谓不能再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数所在的数域而言的.例如，在有理数域上，把 x4-4 分解为,第五节 因式分解定理,返回,在下面的讨论中，仍然选定一个数域P作为系数域，我们考虑数域P上的多项式环Px中多项式的因式分解.,返回,x4-4=(x2-2)(x2+2),的形式就不能再分了.但在数域Q()(参看本章第一节)上，或更扩大一些，在实数域上，就可以进一步分解成,x4-4=(x-)(x+)(x2+2),而在复数域上，还可以进一步分解成,x4-4=(x-)(x+)(x-i)(x+i),由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义.,定义8 如果数域P上次数1的多项式p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的乘积，那么就称p(x)为数域P上的不可约多项式.,正如上面指出的，(x2+2)是实数域上的不可约多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次多项式的乘积，因而不是不可约的.这就说明，一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.,返回,按照定义，一次多项式总是不可约多项式.,显然，不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍cp(x)(c0)这两种，此外就没有了.,反过来，具有这个性质的次数1的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者p(x)|f(x)或者(p(x),f(x)=1.事实上，如果(p(x),f(x)=d(x)，那么d(x)或者是1或者是cp(x)(c0).当d(x)=cp(x)时，就有p(x)|f(x)了.,返回,不可约多项式有下述的重要性质.,定理 5 如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x),g(x)，由p(x)|f(x)g(x)，一定推出 p(x)|f(x)或者p(x)|g(x).,返回,证明 如果p(x)|f(x)，那么结论已经成立.,利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式p(x)整除一些多项式 f1(x),f2(x),fs(x)的乘积 f1(x)f2(x)fs(x)，那么 p(x)一定整除这些多项式之中的至少一个.,下面来证明这一章的主要定理.,返回,其中ci(i=1,2,s)是一些非零常数.,返回,因式分解唯一性定理 数域P上每一个次数1的多项式 f(x)都可以唯一的分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式,那么必有s=t，并且在适当排列因式的次序后有,f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x),pi(x)=ciqi(x)(i=1,2,s),证明（分解式的存在性）我们对f(x)的次数做数学归纳法.,返回,因为一次多项式都是不可约的，所以 n=1 时结论成立.,设，并设结论对于次数低于n的多项式已经成立.,如果f(x)是不可约多项式，结论是显然成立的，不妨设 f(x)不是不可约的，即有,f(x)=f1(x)f2(x),其中f1(x),f2(x)的次数都低于n，由归纳法假定f1(x)和f2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.把 f1(x),f2(x)的分解式合起来就得到f(x)的一个分解式.,由归纳法原理，结论普遍成立.,返回,（分解式的唯一性）设f(x)可以分解成不可约多项式的乘积,返回,如果f(x)还另有一个分解式,f(x)=p1(x)p2(x)ps(x),其中qi(i=1,2,t)都是不可约多项式，于是,f(x)=q1(x)q2(x)qt(x),f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x)（1）,我们对s 做归纳法.当s=1，f(x)是不可约多项式，由定义必有s=t=1，且 f(x)=p1(x)=q1(x),现在设不可约因式的个数为s-1时唯一性已证.,由（1）知道，p1(x)|q1(x)q2(x)qt(x)，因此，必能除尽其中的一个，不妨设,返回,因为q1(x)也是不可约多项式，所以有,p1(x)|q1(x),在（1）式两边除去p1(x)就有,p1(x)=c1q1(x)（2）,p2(x)ps(x)=c1-1q2(x)qt(x),由归纳法假设，有,s-1=t-1，即 s=t（3）,（2），（3），（4）合起来即为所要证的.这就 证明了分解的唯一性.证毕.,返回,并且适当排列次序之后有,p2(x)=c2c1-1q2(x)即 p2(x)=c2q2(x),pi(x)=ciqi(x)(i=3,s)（4）,应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.,在多项式f(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是f(x)的分解式成为,返回,其中 c 是f(x)的首项系数，p1(x),p2(x),ps(x)是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 r1,r2,rs是正整数.这种分解式称为标准分解式.,如果已经有了两个多项式的标准分解式，我们就可以直接写出两个多项式的最大公因式.,返回,多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)就是那些同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在f(x)与g(x)中所有的方幂中的较小的一个.,例 证明多项式f(x)和g(x)互素的充分必要条件是，对于任意正整数n，f n(x)和gn(x)都互素.,证 如果 f(x)和g(x)中有0或0次多项式，则结论是显然的.因此下面设f(x)与g(x)都是次数大于1的多项式，并且它们的标准分解式为,返回,显然有(f n(x),gn(x)=1.,由此可得f n(x)与gn(x)的标准分解式为,由上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.我们知道，整数也是带余除法，即,返回,对于任意整数 a,b，b 0，都存在唯一的整q,r，使,a=qb+r,其中 0 r|b|.,整数的因式分解理论能够类似地得出.有兴趣的同学可以当作练习作出全部证明.,