【教学课件】第二节定积分在几何学上的应用.ppt

第二节 定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长,一、平面图形的面积,1、直角坐标情形,f(x)为任意函数,2、极坐标情形,二、体积1、旋转体体积 旋转体就是一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴.,圆柱：矩形绕其一边旋转而成.圆锥：直角三角形绕其一直角边旋转而成.圆台：直角梯形绕其直角边旋转而成.圆球：半圆绕其直径旋转而成.,如曲线y=f(x),x=a,x=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.,体积微元：,绕x轴旋转体积：,例7 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，它围绕x轴旋转成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积.,例8 计算由椭圆 所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(叫做旋转球体)的体积.,例9 计算由摆线 的一拱y=0所围成的图形分别绕x轴，y轴旋转而成的旋转体积.,2、平行截面面积为已知的立体的体积,体积微元：,体积：,依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加，且每个小段 都缩向一点时，若此折线的长 的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的，故有以下定理:,设A、B是曲线弧 上的两个端点，在 上任取分点,三、平面曲线弧长,（,（,（,（,取参数t为积分变量，t的变化区间为，相应于 上任一小区间t,t+dt 的小弧段的弧长 元素为,定理 光滑曲线弧是可求长的.,利用定积分来计算弧长.下面利用定积分的元素法来讨论平面光滑曲线弧长的计算公式.,其中 上具有连续导数，现计算这曲线弧的长度.,设曲线弧的参数方程为,则弧长为以 为被积表达式，积分区间为 的定积分，即,当曲线弧由直角坐标方程,给出，其中f(x)在a,b上具有一阶连续导数，这时曲线弧有参数方程,从而所求弧长为,当曲线弧由极坐标方程为给出，其中 在 上具有连续导数.,由直角坐标与极坐标的关系可得,从而所求弧长为,这就是以极角 为参数的曲线弧的参数方程。于是，弧长元素为长元素为,解:,例12 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度.,解:弧长元素为,弧长为,例13 计算摆线 的一拱,的长度.,例14 求阿基米德螺线 相应于 从0到 一段弧长.,解:弧长元素为,弧长为,