【教学课件】第二节定积分的基本性质.ppt

第二节 定积分的基本性质,性质1,证明,设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在a,b上可积.,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即,性质2,证明,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,利用定积分的几何意义，可分别求出,例1,解,性质4,性质5,推论1,性质6(估值定理),证明,曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.,性质6的几何意义：,例2,解,性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点，使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.,性质7的几何意义：,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.,如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为.,