【教学课件】第二节偏导数.ppt

第二节 偏导数,一、偏导数的概念二、偏导数的求法三、高阶偏导数,一、偏导数的概念,定义8.5 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量,1.偏导数的定义,即,类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,又可记为,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作,类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为,记作,二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为,同样地，可以定义偏导数.,2.二元函数偏导数的几何意义,二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为,上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几何意义可知：fx(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率.,同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线,在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.,二、偏导数的求法,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.,例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x求导.,若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即，这样就得到了函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.,例1 求函数 在点(1,3)处对x和y的偏导数.,解,将点(1,3)代入上两式，得,例2 求函数 的偏导数.,解,例3 求函数 的偏导数.,解,例4 求函数 的偏导数.,解,例5 求函数 的偏导数.,解,例6 求函数z=tan(xy2)的偏导数.,解,例7 求函数 的偏导数。,解,例8 求函数 的偏导数.,解,例9 设f(2xy,x+y)=x2+y2,求,解,于是,从而,例10 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常量)，求证：,证,偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元函数导数记号 是不同的，可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.,例11 设,求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.,解 原点(0,0)处对x的偏导数为,原点(0,0)处对y的偏导数为,对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于f(x0,y0).,同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子.,例如，二元函数，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在.,事实上，是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的.,固定y=0，让x0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.,在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.,三、高阶偏导数,设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数,二元函数的二阶偏导数为：,同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的n1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.,例12 求 的二阶偏导数.,解,定理10.1 如果函数z=f(x,y)在开区域D上二阶混合偏导数 连续，则在该区域上任一点处必有,该题值得注意的是，一般函数f的二阶混合偏导数 和 并不一定相等.例7的两个二阶混合偏导数相等，是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理.,例13,解,例14 证明函数 满足方程,证,所以，满足方程,例15 设，求,解,