【教学课件】第二章线性方程组.ppt
第二章 线性方程组,2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩2.3 线性方程组解的判定,线性方程组,的解取决于,回顾:根据克拉默法则,称为方程组的系数；称为常数项。方程的个数 没有限制，可以：,线性方程组的一般形式,是求解线性方程组的一种基本方法。其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组。即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的通解方程组。,第一节 高斯消元法,例1 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,例2 解线性方程组,Step2 把第一步中得到的方程组得第一个方程的2倍加到第二个方程上，得,Step2 把第一步中得到的方程组的第一个方程的2倍加到第二个方程上，得,Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的3倍加到第三个方程上，得,Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的3倍加到第三个方程上，得,Step4 把上方程组中的第二个方程的2倍加到第三个方程上，得,Step4 得到的方程组具有这样的特点：自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形状，称这样的方程组为阶梯形方程组。,第三个方程两边同乘以（1/11）得：x32；将x32代入第二个方程得：x29；再将x29，x32代入第一个方程得：x13。从而，方程组的解为：,分析上例：,我们对方程组反复进行了三种变换，即：,我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。,说明：线性方程组的初等变换是可逆的。即，方程组（1）经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是同解的。,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,矩阵,由 个数排成的 行 列的数表,称为 矩阵.,记作,定义1 矩阵的定义,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,增广矩阵,系数矩阵,例2的增广矩阵和系数矩阵,定义,间的关系式为,线性变换.,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,定义2 矩阵的初等行变换是指下列三种变换：,（1）互换矩阵的第 行和第 行的位置；记做：,（2）用一个非零数 乘矩阵的第 行；记做：,（3）把矩阵的第 行元的 倍加到第 行上。记做：,若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种初等列变换！相应的记为：,初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，记做。,说明：对线性方程组施行一次初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换，而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩阵。,例3 例二中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换,以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为,因此方程组有唯一解，这个结果和消元法一致！,定义3 满足下列两个条件的矩阵称为梯矩阵。（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。,首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵，称为最简梯矩阵，简称最简形。,问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯矩阵呢？,定理1,证明,Step1 若A的元全为0,A已经是一个阶梯矩阵。,矩阵A的各行分别作行变换：,Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第一个非零列，设(否则，若 非零，作行变换，总可使第j1列的第一个元非零)，,得到：,其中A1是（m1）x（nj1）矩阵，对施行上面同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。,继续对行阶梯矩阵做行变换：每个非零行同除以该行的首非零元，就可以将该行的首非零元化为1。再利用矩阵的初等行变换(3)，将首非零元所在列的其他元素化为零，就得到最简形。,推论,例4 用初等行变换将矩阵A化成行阶梯矩阵和最简形。,B是所求的梯矩阵，C是最简形,1、线性方程组的初等变换：三种变换。,2、矩阵的定义,小结,3、矩阵的初等变换,4、行阶梯矩阵（定理1及推论）,第二节 矩阵的秩,一、矩阵的k阶子式的概念,定义4,定义5,易知:,(4)规定零矩阵的秩为0,二、矩阵的秩的概念,(5)满秩矩阵,降秩矩阵,矩阵的秩,例1,解,例2,解,行阶梯形矩阵的秩=非零行的行数,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,问题：经过初等变换，两个矩阵的秩是否相同？,三、求矩阵秩的初等变换法,定理2 初等变换不改变矩阵地秩。,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,这个子式也是 A 的一个最高阶非零子式.,例5,解:初等行变换.,例6,分析：,解：,?,第三节 线性方程组解的判定,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,即得与原方程组同解的方程组,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B 进行初等行变换：,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等行变换：,得方程组的通解：,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例5 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,(2)初等变换法,1.矩阵秩的概念,2.求矩阵秩的方法,(1)利用定义,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,寻找矩阵的最高非零子式，其阶数即为秩.,二、小结,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,返回,
