【教学课件】第二章第二节柯西定理和第三节不定积分.ppt

2.2 及2.3 柯西定理及不定积分(一)单连通区域的情形(二)复通区域的情形,复习：格林公式：在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有这里L是D的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公式。,(一)单连通区域的情形 单与复连通区域：,复连通区域D 的边界曲线L由 和 组成,逆时针 顺时针方向为边界曲线L的正向.,单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：,这里的l也可以是B的边界。,证明：,由于f(z)解析，因而其偏导数,在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式,将上面的闭合曲线积分化为面积分,在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式,由于f(z)解析，因而其偏导数,根据Cauchy-Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0，故有,将上面的闭合曲线积分化为面积分,由此证明了单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任一个分段光滑的闭合曲线l有：,这里的l也可以是B的边界。,因此，如果固定起点z0,而令终点z为变点，则作为积分上限的函数,是单连通区域内的以z为宗量的单值函数。我们称该函数F(z)称为f(z)的不定积分。,f(z)的不定积分,如果函数f(z)在单连通区域内解析，则,也在单连通区域内解析。并且,即F(z)是f(z)的一个原函数。,还可以证明：,即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，与从z1到z2的路径无关)。,(二)复通区域的情形 奇点：不可导、不连续、没有定义 复通区域概念：境界线的正方向：,复连通区域,复通区域的柯西定理：,如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则,式中l 为区域外境界线，诸li为区域的内境界线，积分均沿境界线正方向进行。,证明思路：复通区域转化为单通区域,l,l2,l1,证明:,即,总结起来，柯西定理说的是：闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。,(三)一个重要例题与结论计算积分,n为整数.,以a为圆心，R为半径画一员周C，在C上，根据复通区域的柯西定理有：,=0,综合以上讨论，得出,