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ACM新生培训讲座,Flavius Josephus,弗拉维奥约瑟夫(37-100)是第一世纪时的著名的犹太历史学家，也是军官及辩论家。犹太古史(The Antiquities of the Jews)：记录了由圣经创世记至公元66年的犹太人历史，以旧约圣经为蓝图以及古人的传说，编写而成的犹太巨著。由于当时的犹太人散居各地，此书成为各地土生犹太人重要学习典籍，亦为当代神学学者及历史学者所采用。,Flavius Josephus,犹太战记(War of the Jews)约瑟夫自传(The Life of Flavius Josephus),约瑟夫环问题,在犹太人和罗马的战争期间，约瑟夫和其他40个犹太反叛者被罗马军队困在一个山洞中，这些犹太反叛者宁愿自杀也不想被罗马军队抓住，于是他们就站成一个环，从其中某个人开始数，每数到的第三个人就要被杀掉，直到所有人都死光了。但是约瑟夫和他的一个朋友觉得自杀是没有意义的，他们并不想死，于是他很快就算出了他和他的朋友应该站在什么位置，使他们两个成为最后被杀的那两个人，并最终活了下来。,约瑟夫环问题一,问题描述：编号从1到n的n个人站成一个环，从第一个人开始，每数到 2的时候，去除该位置上的人，直到只剩下一个人，求剩下的这个人的编号。我们用J(n)表示人数为n的时候的解。,约瑟夫环问题一,去掉的人的编号依次为2,4,6,8,10,3,7,1,9,最后只剩下5，所以J(10)=5。,约瑟夫环问题一,约瑟夫环问题一,当有偶数个人的时候，我们假设为2n个人，经过第一圈之后还剩下n个人。,约瑟夫环问题一,剩下的n个人又是一个新的约瑟夫环问题。1 2 3 4 n-1 n 1 3 5 7 2n-3 2n-1J(2n)=2*J(n)-1.,约瑟夫环问题一,当有奇数个人的时候，我们假设为2n+1个人，经过第一圈之后还剩下n+1个人。去掉2n之后，下一个要去掉的就是1，最后还是剩下n个人。,约瑟夫环问题一,剩下的n个人还是一个新的约瑟夫环问题。1 2 3 4 n-1 n 3 5 7 9 2n-1 2n+1J(2n+1)=2*J(n)-1,约瑟夫环问题一,综上，我们可以得到如下递推公式：该问题可以在O(n)的复杂度解决。,约瑟夫环问题一,约瑟夫环问题一,由上图可以看出如果n为2的幂次方的时候，J(n)=1，这是显然的。而在此之后J(n)以2递增，因此我们可以猜测:而事实上J(n)确实满足上述规律，这个可以通过归纳法得到证明，至此，约瑟夫环问题一可以用O(lg(n)的算法很好地解决。,约瑟夫环问题二,问题描述：编号从1到n的n个人站成一个环，从第一个人开始，每数到 m的时候，去除该位置上的人，直到只剩下一个人，求剩下的这个人的编号。我们用J(n,m)表示人数为n，每次都去掉第m个人的时候的解。,约瑟夫环问题二,为了方便，在这里我们把这n个人的编号改为从0到n-1，第一个去掉的人总是m%n-1，剩下n-1个人，这n-1个人又组成了一个从第m%n个人开始的新的约瑟夫环问题。m%n m%n+1 n-1 0 m%n-2 0 1 n-m%n-1 n-m%n n-2J(1,m)=0;J(n,m)=(m%n+J(n-1,m)%n,n=2.最后的结果加1就OK了。这个问题可以用O(n)的算法去解决。,约瑟夫环问题三,问题描述：编号从1到n的n个人，站成一个环，每个人手里拿着一个卡片，卡片上写着一个非零的数，首先去掉编号为k的人，然后看他手里的卡片上的数字mk，如果mk0，则去掉他左手边的第mk个人，如果mk0，则去掉他右手边的第mk个人。重复上述步骤，直至只剩下一个人，问这个人的编号是多少。,约瑟夫环问题三,不要妄想再找到公式了，模拟是唯一的选择，但是直接模拟的话，该算法的复杂度将达到O(n2).事实上，我们可以用线段数对此做一个优化，用线段数来统计每个区间上还剩下人的个数，从而使算法的复杂度降低到O(n*logn)。线段数？一棵平衡二叉树，它的每个节点都是一个线段，这里就不做详细介绍了。,