【大学课件】随机变量的数字特征.ppt
第四章 随机变量的数字特征,数学期望及其性质,方差及其性质,协方差与相关系数,契比雪夫不等式,常见的重要分布的数字特征,http:/,分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求 分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。,由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。,本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。,引言,http:/,1、数学期望,【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。,II,I,III,枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为,现射击N次,其中得0分的有 次,得1分的有 次,得2分的有 次,于是,射击N次的总分为,http:/,从而,每次射击的平均分为,在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时,频率 接近于概率,故当N很大时,这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均 接近于,称后者为随机变量X的数学期望(均值).,http:/,定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛，分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。,(1),一、概念,http:/,试评定甲乙成绩的优劣。,解这是离散型随机变量。由数学期望定义得：,由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。,【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其 分布律分别为,http:/,求E(X)。,解这是连续型随机变量。由数学期望定义得：,分段函数的积分,【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为,http:/,定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则Y 也是随机变量，且其数学期望为,(2),利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理:,二、随机变量函数的数学期望,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛，分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。,http:/,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛,分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。,定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数，则Z也是随机变量，且其数学期望为,(3),http:/,其中k,m为自然数。,可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心 矩，它们都是随机变量函数的数学期望。,X与Y的协方差（4）,http:/,【例3】,解设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;,又Y=g(X),且,g(1)=g(2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.,故随机摸一球得分的期望为,http:/,【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从 指数分布,其概率密度为,解这是求连续型随机变量函数的数学期望。,工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费 300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.,设售出一台设备的净赢利为,http:/,故售出一台设备的净赢利的数学期望为,http:/,D,解这是二维连续型随机变量函数的数学期望。联合概率密度函数非零区域为,故由定理2得:,【例5】,http:/,例5-续,在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需 要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域D上非 零时，实际上是计算普通二重积分.,http:/,三.数学期望的性质,数学期望具有如下性质:设X,Y为随机变量,c为常数,则,E(c)=c;,E(cX)=cE(X);,E(X+Y)=E(X)+E(Y);,当X,Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);,【证】由随机变量及其函数的数学期望知:,此时,为退化分布:PX=C=1,故由定义得:,E(c)=E(X)=cPX=c=c.,由定义得:,http:/,现就连续型证下面两条：,设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密度分别为,由随机变量函数的期望得:,由X,Y相互独立得:,http:/,利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推 出其它数字特征的一些性质.,http:/,解方法1(表格法)由X的分布列得:,【例6】已知随机变量X的分布列为,求X,X2,3X2+5的数学期望.,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,于是,http:/,E(X2)=00.3+40.7=2.8;,E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.,方法2(定义+性质法),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;,所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.,例6-续,http:/,E(X2)=00.3+40.7=2.8;,E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.,方法2(定义+性质法),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;,所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.,例6-续,http:/,一、概念,定义2 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定 义为,其中数学期望存在.,(4),在应用上还用到与X具有相同量纲的量,称之为随机变量X的均方差(标准差).,方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比 较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大.,http:/,由数学期望性质与方差定义可得:,(6),这也是计算方差的常用公式.,显然,方差D(X)就是随机变量X的函数,的数学期望.因此,当X的分布律 或概率密度 已知时,有,(5),http:/,【例8】P.122:eg3,解,【例8】设X服从参数为p的几何分布,其分布律为,又,求其期望与方差.,http:/,故,http:/,【例9】,【例9】设随机变量X的概率密度为,解期望为,求其期望与方差.,http:/,二.性质,方差具有如下性质:设X,Y为随机变量,c为常数,则,D(c)=0;,D(cX)=c2D(X);,D(X+c)=D(X);,当X,Y相互独立时,D(XY)=D(X)+D(Y);,【证】只证4。,D(aX+b)=a2D(X),D(X)=0的充要条件PX=C=1,其中C=E(X).,http:/,由于X,Y相互独立,故可以证明X-E(X),Y-E(Y)也 相互独立。于是，由数学期望的性质得：,从而，有,http:/,【例10】设X1,X2,Xn相互独立,且服从同一个(0-1)分布,其分布律为,解X的所有可能取的值为0,1,2,n.,证明 并求E(X),D(X).,事件 X=k是 个互斥基本事件的和事件,且其中每个基本事件为“从n个格子中取出k个放入1,其余放入0”.由独立性易知:每个基本事件的概率为,故,从而,http:/,因为 0-1分布,所以,由期望与方差性质得:,http:/,契比雪夫不等式给出了在未知X分布的情况下,估计事件|X-|概率的方法.在上式中分别取=3,4得,由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式:,http:/,3.常见重要分布的期望与方差,一、二项分布,设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),则其分布律为,在2例10中已经求得,设X服从参数为的二项分布P(),则其分布律为,二、泊松分布,http:/,由幂级数展开式 与期望、方差 定义得,故,http:/,设X服从参数为,2的正态分布N(,2),则其概率密度为,其中,数学期望为：,奇函数在对称区间上的积分为零,换元,标准正态概率密度性质,三、正态分布,http:/,http:/,设X在区间(a,b)上服从均匀分布,其概率密度为,则X的数学期望为:,故X的方差为:,四、均匀分布,http:/,五、指数分布,计算过程自学。,http:/,4、协方差与相关系数,一、概念,定义3 随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y),定 义为,其中数学期望存在,而,称为随机变量X与Y的相关系数.,相关系数是一个无量纲的量.,http:/,对于任意随机变量X与Y,总有,由协方差定义得,这是计算协方差的常用公式.,http:/,二.性质,协方差具有下列性质:,相关系数具有下列性质:,对称性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,线性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a为常数),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).,|XY|1;,若Y=aX+b(a,b为常数,且a0),则,X与Y正相关,X与Y负相关,|XY|=1的充要条件是存在常数a,b,使,PY=aX+b=1.,http:/,相关系数XY是一个反映X和Y之间线性关系紧密程度的量.当XY较大时,表明X与Y线性相关程度较好,特别当XY=1时,X与Y之间以概率1存在线性关系;当XY较小时,表明X与Y线性相关程度较差.,定义4 若相关系数XY=0,则称随机变量X与Y 不相关.,当X与Y相互独立时,由数学期望性质与协方差定 义得,故X与Y不相关.,一般，X与Y独立 X与Y不相关.,http:/,【例1】设(X,Y)的概率密度为,解(1)求边缘概率密度,判定立性,试证X与Y不相关,但X与Y不相互独立.,【例1】,http:/,利用对称性得:,(2)求协方差与相关系数,奇函数在对称区间上积分为零,由于,所以,X与Y不独立.,http:/,利用对称性得:,于是,X与Y的协方差为,http:/,【例2】设(X,Y)服从二维正态分布,求X与Y的相关 系数.,解因为X与Y的联合概率密度为,X与Y的边缘概率密度为,http:/,于是,X与Y的协方差,对上述广义二重积分换元:,http:/,即,面积元素为,http:/,http:/,显然,独立一定不相关,但不相关却不一定独立。,特别值得注意的是:若(X,Y)服从二维正态分布,则 独立与不相关是等价的。,所以，X与Y的相关系数为：,最后,请注意正态分布的一些重要结论。,http:/,
