【教学课件】第三章线性系统的时域分析法.ppt

第三章 线性系统的时域分析法,3-1 控制系统的时域指标3-2 一阶系统的时间响应3-3 二阶系统分析3-4 控制系统的稳定性和代数判据3-5 稳态误差的分析和计算,3-1 控制系统的时域指标,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。,系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t)c1(t)对应齐次微分方程的通解 c2(t)非齐次微分方程的一个特解,从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t时的输出，衡量其好坏的是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量。,1 稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即,2 动态性能指标,一.上升时间tr 响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。二.峰值时间tp 响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。三.调节时间ts 在稳态值h()附近取一误差带，通常取,响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。四.超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即,超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr,tp和ts表示控制系统对输入信号产生反应的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性，即系统的阻尼程度。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,注：控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：,3-2 一阶系统的时间响应,一.一阶系统的数学模型,结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。二.一阶系统的单位阶跃响应,曲线,例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解：系统的闭环传递函数,三.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess=t-(t-T)=T从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。,3-3 二阶系统分析,一.二阶系统的数学模型 以前我们讲过的位置随动系统，就是一个典型的二阶系统。结构图可以简化为,得到二阶系统传递函数的标准形式即：式中，为系统的阻尼比 wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）,闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当0 1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根 系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a),2.当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）3.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。,二.二阶系统的单位阶跃响应 1.过阻尼情况。当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为,式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，,则系统的输出量为拉氏反变换得：,响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出，当,(临界阻尼）时，,当，时，当，时，由此可见，当，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。当 时，临界阻尼二阶系统，则 则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。,2.欠阻尼情况当0 1,二阶系统的闭环特征根为Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为,曲线：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-wn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。,角的定义,上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当0时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振荡频率为wn wn称为无阻尼振荡频率。另外，若过大，如，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1.上升时间tr 由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,当wn一定时，越小，tr越小；当一定时，wn越大，tr越小。2.峰值时间tp,对式两边求导，并令其=0，得：,代入 得：,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是当wn一定时，越小，tp越小；当一定时，wn越大，tp越小。3.超调量%,所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振荡频率wn的大小无关。,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在之间,相应的超调量25%-2.5%。4.调节时间ts 根据定义：不易求出ts，但可得出wnts与的关系曲线：,调节时间不连续的示意图,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误差带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当=0.8时,常把 这一项 去掉。写成 即,在设计系统时,通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率wn来决定。,可近似表示为：,两边取对数,得：,5.振荡次数N N的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。Td为阻尼振荡的周期。,例1:已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA=13.5,这时系统的动态性能指标如何?,解:系统的闭环传递函数为:,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:,由此可见,KA越大,越小,wn越大,tp越小,%越大,而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似,为大时间常数T的一阶系统来估计,即:调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,KA增大，tp减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。,系统开环传递函数,闭环传递函数:,等效阻尼比：,增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td,即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。,例3.图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解:系统的开环传递函数为,式中kt为速度反馈系数.为系统的开环增益。(不引入速度反馈开环增益)k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。,闭环传递函数 显然，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率wn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。,等效阻尼比：,在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比t增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。,3-4 控制系统的稳定性和代数判据,一.稳定性的定义 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。,如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。,二.稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为:,由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果,则系统稳定。若 是线性系统特征方程 的根,且互不相等,则上式可分解为,式中 则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为 欲满足,则必须各个分量都趋于零。式中 为常数,即只有当系统的全部特征根 都具有负实部才满足。,稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。,三.劳思稳定判据 不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性,回避求解高次方程的困难。1.系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。充分条件:Routh表第一列元素均大于0。,2.Routh表的列写方法 特征方程为 则Routh表为(在下页中),则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素,则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。例:,则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。一次方程:a1,a0同号则系统稳定。二次方程:a1,a2,a0同号则系统稳定。三次方程:a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2a3a0,则系统稳定。,3.两种特殊情况 情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。例:,当很小时,则系统不稳定，并有两个正实部根。情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。,此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。(1).用k-1行元素构成辅助方程.(2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。例:系统的特征方程为：,列劳思表:列辅助方程,第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。,解辅助方程得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根 可见其中有一个正实根。,4.劳思判据的推广及应用(1).劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例:,闭环传递函数:,则特征方程 整理得:必要条件:充分条件:,则系统才是稳定的,求得k的取值范围。(3).确定使系统稳定的特征参数的取值区间。例:已知系统的特征为:试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?,解:特征方程化为:列劳思表:,所以使系统稳定的k值范围是 若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得:整理得:,列劳思表:第一列元素均大于0,则得:,3-5 稳态误差的分析和计算,稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。一.误差和稳态误差 1.定义:e(t)为系统误差,Cr(t)为希望输出,c(t)为实际输出。,稳态误差:系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。,2.稳态误差的计算(1).拉氏变换的终值定理 当输入信号为 时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数,b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值 即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：,为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数。则:例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess,解:理想情况偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：,对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:,则R(s)和N(s)引起的系统误差为:,在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:,即:所以系统稳定。根据推导出的公式:,系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。,二.输入信号作用下系统稳态误差的分析 只有输入信号作用时,系统的误差为:假设系统为单位反馈,则,开环传递函数,当=0,1,2分别称为0型系统,型系统,型系统(一般不大于2)则,将kp,kv,ka定义为稳态误差系数。阶跃输入下用kp 表示 为位置误差系数。速度输入下用kv表示 为速度误差系数。加速度输入下用ka表示 为加速度误差系数。,前提:单位反馈H(s)=1,提高系统的型别,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。例:某控制系统的结构图为 试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。,解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?当 时,上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=,三.扰动作用下系统稳态误差的分析 理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:,扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。,作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替,提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会降低系统的稳定性。综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。,为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。,四.减小和消除稳态误差的方法 1.按干扰补偿.如果加于系统的干扰是能测量的,同时干扰 对系统的影响是明确的,则可按干扰补偿的 办法办法提高稳态精度。,在扰动作用下的输出为:完全消除扰动对系统输出的影响。增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误差为0。,例:系统输出:,若选 则系统的输出不受扰动的影 响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。如果选 则在稳态情况下,这就是稳态全补偿,实现很方便。,2.按给定输入补偿.如果要求对误差实行全补偿,R(s),同样,全补偿也难以实现,通常采用稳态补偿的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的稳态误差。,不引入补偿装置，则系统开环传递函数 为型系统,所以在速度输入信号作用下,存在常值稳态误差,引入按输入补偿的作用Gr(s),则如果选 则但 在物理上难以实现。,如果取,则这样即实现稳态补偿。,