【教学课件】第三章离散傅立叶变换.ppt
第三章 离散傅立叶变换,理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,第一节 傅立叶变换的几种可能形式,一、连续时间，连续频率傅立叶变换(FT),这是连续时间，非周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。,二、连续时间，离散频率傅立叶级数(FS),这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。,X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。,三、离散时间，连续频率序列的傅立叶变换(DTFT),由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。,四、离散时间，离散频率离散傅立叶变换(DFT),上面所讲的三种傅立叶变换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。,思路：从序列的傅立叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：,第二节 周期序列的傅立叶级数,注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周 期序列均可分解为基波、二次、三次、k次谐波的组合)。,可以看出，离散傅立叶级数的谐波成分只有N个是独立成分：,这说明，时域的离散导致了频域的周期化。即：,对离散傅立叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，我们令：,说明：这里，是K次谐波的系数。1/N看作是一个人为从 中提取的一个常数，这是为了后面运算的方便。,求解 系数：,则：,说明：只有当：k-r=mN 时，中括号内才为1，而因为：k0,N-1，所以有取m=0，即：k=r。若把上式中的r换成k，得到：,可以看出 的周期性：,周期为N的 的离散傅立叶级数只有N个不同的系数。,周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：,说明：只要知道周期序列一个周期的内容，其DFS、IDFS就可以 都可以得到，所以说实际上只有N个序列值有信息。,周期序列与有限长序列存在这样的联系：,将有限长序列进行周期延拓就可得到周期序列,离散傅立叶级数与Z变换的关系：,周期序列 可以看作是对 的一个周期x(n)作z变换，然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角2/N抽样而得到。,令：,则x(n)的z变换为：,例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列（如图所示），试求 其DFS系数。,第三节 离散傅立叶级数的性质,由于可用抽样z变换解释DFS，故DFS的许多性质与z变换相似。但 与 都具有周期性，所以DFS在时域和频域之间存在着严格的对偶关系，这是序列z变换所不具有的。,1、线性,2、序列的移位,3、调制特性,4、周期卷积和,说明：周期卷积与线性卷积的不同之处：参与周期卷积的序列是周期序列。周期卷积和只在一个周期上(0N-1)进行。,第四节 离散傅立叶变换(DFT),周期序列只有有限个序列值有意义，我们可以把长度为N的 有限长序列看作是周期为N的周期序列的一个周期，就可以 利用离散傅立叶级数DFS来计算了。,设x(n)为有限长序列，点数为N，在n=0N-1处有值。,为x(n)的以N为周期的周期延拓序列。,有时也写成：,与x(n)的关系：,的第一个周期：n=0N-1定义为“主值区间”。,x(n)为 的“主值序列”。,对不同的r值，x(n+rN)之间彼此不重叠，故可写为：,其中，(n模N)或(n)N数学上表示“n对N取余数或取模值”。,例：的周期为N=9，求 和 所对应的x(n)。,同理，对频域的周期序列 也可看成是有限长序列 的周期延拓，为 的主值序列。,从DFS和IDFS的表达式可知，求和只是在n=0N-1的主值区间上进行，所以它完全适用于x(n)和X(k)这两对主值序列。由此我们得到有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)的定义：,注意：,回忆DFS，我们发现他们的形式基本一致，只是DFT仅考虑 主值序列(有限长)，而DFS考虑的是一个周期序列。因此 DFT的定义形式中一定会有对主值区间范围的的说明。,x(n)与X(k)均有N点独立值，为N点序列，信息量相当。,凡是说到DFT，有限长序列均是作为周期序列的一个周期来 表示的，它隐含了周期性。DFT的真正幕后英雄是DFS。,x(n)的N点DFT是x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。,x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；,第五节 离散傅立叶变换(DFT)的性质,一、线性,1.两序列都是N点时 如果,则有：,2.和 的长度N1和N2不等时，,选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。,这里包括三层意思：(1)先将x(n)进行周期延拓(2)再进行移位(3)最后取主值序列：,二、序列的圆周移位,1.定义,一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为,由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。,2.圆周移位的含义,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。,时域循环(圆周)移位定理,频域循环(圆周)移位定理,三、共轭对称性,1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量,同样，有,周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为:,2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量,由于,所以,这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。,有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为:,3.共轭对称特性之一,证明：,4.共轭对称特性之二,证明：,可知：,5.共轭对称特性之三,证明：,6.共轭对称特性之四,证明：,7.共轭对称特性之五、六,8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性,9.实、虚序列的对称特性,当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：,当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：,总结：共轭对称性,纯虚序列的共轭对称性,实数序列的共轭对称性,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次 N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的4点DFT。,例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的8点DFT。,四、圆周卷积和,1.时域卷积定理 设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且有：和,如果：,则：,圆周卷积过程：1）补零(当两序列不等长时)2）周期延拓(有限长序列变周期序列)3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶)4）圆周移位 5）相乘相加,例：求下面两序列的6点圆周(循环)卷积。,1）补零 补到6点,2)周期延拓 N=6,2)周期延拓 N=6,3）翻褶，取主值序列,y(0)=1*1+3*1=4,y(1)=2*1+1*1=3,y(2)=3*1+2*1+1*1=6,y(3)=3*1+2*1+1*1=6,y(4)=3*1+2*1+1*1=6,y(5)=3*1+2*1=5,4）圆周移位5）相乘相加,的长度为 的长度为,五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,1.线性卷积,它们线性卷积为,的非零区间为 的非零区间为,两不等式相加得,这也就是 不为零的区间,x1(n)的长度为N1,x2(n)的长度为N2,现构造长度均为L长的序列,即将 x1(n)和x2(n)补零点;然后再对它们进行周期延拓，得到：,2.用圆周卷积计算线性卷积,圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.,计算周期卷积：,圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.,可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为L。由于 有 个非零值,所以周期L必须满足:,又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：,例：求下面两序列的线性卷积和4点、5点、6点、7点圆周卷积。,(1)线性卷积 L=N1+N2-1=5+3-1=7,(2)4点圆周卷积 主值区间：0n3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得4点圆周卷积结果。,x(0)=6+1=7,x(1)=5+3=8,x(2)=3+6=9,x(3)=6,(3)5点圆周卷积 主值区间：0n4,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得5点圆周卷积结果。,x(0)=5+1=6,x(1)=3+3=6,x(2)=6,x(3)=6,x(4)=6,(4)6点圆周卷积 主值区间：0n5,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得6点圆周卷积结果。,x(0)=3+1=4,x(1)=3,x(2)=6,x(3)=6,x(4)=6,x(5)=5,(5)7点圆周卷积 主值区间：0n6,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得7点圆周卷积结果。,z变换法,DFT法,LN1+N2-1,小结：线性卷积求解方法,时域直接求解,第六节 频域抽样定理,1、频域抽样定理要研究的问题,M点,N点,2、由频域抽样恢复序列,一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为,由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到,对 进行反变换,并令其为,则,x(n)为无限长序列混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M 1)NM，不失真 2)NM，混叠失真,频率采样定理,若序列长度为M，则只有当频域采样点数:,时，才有,即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n)，否则产生时域混叠现象。,3、用频域采样 表示 的内插公式,4、用频域采样 表示 的内插公式,*第七节 长序列DFT卷积计算方法,1、重叠相加法,x(n)与y(n)的卷积为,h(n)长度为N，x(n)长度为无限长，x(n)取M点，且与N尽量接近,重叠相加法的卷积示意图,1、将h(n)补零延长到L=M+N-1，并计算长为L的FFT，得到 H(k)。,2、分别将xk(n)补零延长到L=M+N-1，并计算长为L的 FFT，得到 Xk(k),重叠相加法的步骤如下：,3、计算，并求长为L的反变换，即,4、将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为,2、重叠保留法,序列分段的方法：,重叠保留法分段方法示意图,输入的每段序列重叠N-1点，而每段的循环卷积的输出去掉前面N-1点只保留后面M点,第八节 用DFT对模拟信号作频谱分析,信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换,1、对连续时间非周期信号的DFT逼近,1）将 x(t)在 t 轴上等间隔 T 分段,2）将 x(n)截短成有限长序列t=0T0，N个抽样点。,3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔，时域周期延拓，周期为,2、对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样,近似逼近：,3、频率响应的混叠失真及参数的选择,同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾,例：有一调幅信号 用DFT做频谱分析，要求能分辨xa(t)的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹?(2)抽样时间间隔应为多少秒?(3)抽样点数应为多少点？,（1）抽样频率应为,解：,（2）抽样时间间隔应为,对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏,1）增加x(n)长度,2）缓慢截短,4、频谱泄漏,改善方法：,DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数,5、栅栏效应,改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密。,
