【教学课件】第三章晶格振动.ppt

第三章 晶格振动,1,2,势能函数,3,简谐近似,在平衡位置附近，简谐近似可以很好的描写体系的势能，而在远离平衡位置的时候，就需要考虑Taylor级数中高阶项（称为非简谐项）的贡献。,由数学知识可知，存在一个坐标变换使得简谐近似下的 Hamiltonian 可以表示为如下形式：,（简正坐标）,4,.,显然,这可以看作是3N个独立谐振子构成的体系.由量子力学知识可知,第 i 个振子的能级和波函数为:,5,6,引入简正坐标，简谐近似下的晶格振动可以用3N 个独立谐振子来描写。这时谐振子的位移被简正坐标代替，简正坐标是一种集体坐标。,一维单原子链,一维原子链的振动简单可解，也能较全面地表现晶格振动的基本特点。,7,可以证明该方程组具有如下“格波”解：,8,9,10,11,12,13,思考题：如何理解格波函数为复变函数？,14,15,一维双原子链,一维双原子链可以看作是最简单的复式晶格。,16,类比于一维单原子链，原子的运动方程为：,原子链中含有 N 个原胞时，就得到 2N 个方程的联立方程组。,容易验证，该方程组有如下形式的格波解：,17,将格波解代入到运动方程中，可以得到,将上述方程看作关于A、B的线性方程组，则其有非零 解条件为：,18,19,20,21,22,23,三维晶格的振动,24,25,26,27,28,前边分别讨论了简谐近似下晶格振动。利用这些知识可以讨论光和晶格的格波之间的相互作用、晶格热容和晶格热传导等晶体性质。下边以晶格热容为例做简单的讨论。,把晶格体系看作3N个独立的简谐振子构成的一个系统，可以研究其热容性质。,29,（简谐近似下的精确结果）,30,在一般讨论时,经常还会用到简化的Einstein模型和Debye 模型。,Einstein 假定晶格中原子的振动是3N个独立的具有相同频率的振动，得到了晶格振动简化的Einstein模型。在Einstein模型下，热容量表达为：,31,Einstein模型在高温极限回到经典情形，在低温时也能给出热容量随温度下降的基本趋势，但是下降趋势比真实情形要陡（？）。,Einstein模型假定所有模式具有相同的频率。这一假定过于粗糙是Einstein模型在低温下与实验不符的重要原因。(P125,图3-21),32,Debye在Einstein模型的基础上，把固体看作是各向同性的弹性介质，由于介质中存在相互作用，晶格振动表现为弹性波。,33,34,35,(P132,表 3-1),36,通过合适选取 Debye温度，Debye 模型在低温时可以和实验符合的很好。但Debye温度随温度变化这一事实表明 Debye模型仍有其局限性。,(P130,图 3-23；P131，图3-24),在低温极限，热容的贡献主要来自于最低频率的模式。这个时候有如下结论成立：,Debye T 立方定律,37,38,39,The End,40,41,作业 3,P5803.3，3.4,