【教学课件】第三章导数的应用函数的单调性与极值、最大值与最小值.ppt
第 1 页,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,一、函数单调性的判别法,二、函数的极值及其求法,三、函数的最大值和最小值,第三章 导数的应用,本节知识引入,本节目的与要求,本节重点与难点,本节复习指导,第 2 页,一、函数单调性的判别法,定理1,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 3 页,证,应用拉氏定理,得,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 4 页,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 5 页,单调区间求法：,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 6 页,例2,解,单调区间为,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 7 页,例3,解,单调区间为,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 8 页,例4,解：,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,确定函数,的单调区间,函数的定义域为（-，）,令,得：,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 9 页,列表讨论：,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 10 页,小结：,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的闭区间换成开区间、半开区间或无限区间，结论仍然成立.,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 11 页,二、函数的极值及其求法,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 12 页,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是一个局部性的概念。,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 13 页,函数极值的求法：,定理2(必要条件),定义,注意:,例如,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 14 页,定理3(第一充分条件),(是极值点情形),第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 15 页,求极值的步骤:,(不是极值点情形),第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 16 页,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 17 页,图形如下,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 18 页,定理(第二充分条件),第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 19 页,例2,解,图形如下,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 20 页,注意:,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 21 页,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 22 页,小结：,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 23 页,三、函数的最大值和最小值,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 24 页,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 25 页,应用举例：,例1,解,计算,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 26 页,比较得,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 27 页,例2,求函数,在区间1，e上的最大值和最小值,解：,因为在（1，e）内,所以函数,在区间1，e上单调增加,其最小值为f（1）=0,最大值为f（e）=e,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 28 页,例3,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 29 页,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 30 页,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 31 页,例4,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 32 页,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 33 页,例5,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 34 页,解,如图,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 35 页,解得,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 36 页,例6：把一根半径为R的圆木锯成矩形条木，问矩形的长和宽多大时，条木的截面积最大？,解：,设矩形的长为x,则矩形的宽为,矩形的截面积为,其中（0 x2R）,现在求x为何值时，函数A在区间（0，2R）内取得最大值。,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 37 页,令,得：,（舍去）,由于函数A在（0，2R）内只有一个驻点,由实际情况知，函数A的最大值一定存在，因此，当,时，函数A取得最大值,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 38 页,此时，矩形的宽为,即：当矩形的长和宽都为,条木的截面积最大。,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 39 页,小结：,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,第 40 页,本节的学习目的与要求,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,1 理解函数单调性的判定定理；2 理解函数极值的判定定理；3 理解函数极值的概念；4 正确区分函数的极值与最值；5 利用定理正确求出较复杂函数的单调区间和极值；6.能够正确解决实际应用中的最值问题。,第 41 页,本节的重点与难点,第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值,重点1利用定理正确求出较复杂函数的单调区间和极值2正确解决实际应用中的最值问题。难点1、正确理解函数极值的概念；2、正确区分函数的极值与最值。,
