【教学课件】第三章力学基础(本构方程).ppt

河南科技大学材料学院,第三章 金属塑性变形的力学基础 本构方程,本构关系：塑性变形时应力与应变之间的关系。本构方程（物理方程）：应力与应变之间关系的数学表达式。,弹性变形时应力应变关系,E弹性模量；,v泊松比；,G切变模量（剪切模量）；,本构方程,一般应力状态下，各向同性材料由广义胡克定律确定应力-应变关系,单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即,物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。,本构方程,广义虎克定律的张量形式,广义虎克定律的其它形式,本构方程,等效应力,弹性应变强度,令,应力强度与弹性应变强度之间的关系,本构方程,由 得,其中,比较,塑性变形时应力应变关系的特点,例1 单向拉伸,弹性变形-对应，例如c永 远对应 c,塑性变形,理想 s对应任何应变,硬化,s e(加载）e,f e(卸载）f,例2 拉、切复合时的塑性应力应变关系,塑性变形时应力应变关系的特点,结论：塑性变形时，应力与应变不一定对应，主轴不一定重合，离开加载路线来讨论-关系无意义，要建立-d(增量理论），只有在简单加载情况下（例中1、3、5）主轴重合，-对应，才能建立-关系。,相同的应力状态（2、4、5），对应不同的应变状态；相同的应变状态（1、2及3、4）对应不同的应力状态。,增量理论/流动理论,增量理论是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。增量理论又称为流动理论。在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径。由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出了各种不同的本构理论。应用广泛的有Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。,LevyMises 理论（1）材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量；（2）材料服从Mises屈服准则，即；（3）在每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。（4）塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应变增量偏张量；,在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张量成正比,d正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是变化的，在卸载时 d=0,LevyMises理论,可写为以下形式,令,等效应变增量,LevyMises理论,将,代入,并考虑到,则Levy-Mises方程又可写为：,LevyMises理论,证明以前提到的结论,1)平面变形：设dz=0,按体积不变条件 dx+dy=0,2)轴对称：,说明,1)Levy-Mises方程仅适用于理想塑性材料，只给出应变增量与应力偏量之间的关系；,3)由dij只能求出ij,而不能求出ij,4)由ij只能求出dij的比,而不能求出dij,2)由于，因而应力球张量 不能唯一确定。,LevyMises理论,同除以dt,应变速率张量,Saint-Venant 塑性流动方程,应力-应变速率方程,等效应变速率（应变速率强度）,Prandtl-Reuss理论 LevyMises理论没有考虑弹性变形的影响，仅适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和残余应力问题时不宜采用LevyMises理论Prandtl于1924年提出了平面应变情况下理想弹塑性材料的本构关系，Reuss在1930年也独立提出了该理论，并将其推广到一般情况。通常将它称为Prandtl-Reuss理论。,Prandtl-Reuss理论,Prandtl-Reuss理论 Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形部分，将总的应变增量dij分解为弹性应变增量dije和塑性应变增量dijp之和,其中塑性应变增量dijp由LevyMises理论给出,Prandtl-Reuss理论,而弹性应变增量dije 由广义虎克定律的微分形式给出,可以得到Prandtl-Reuss本构方程为,Prandtl-Reuss理论,1)Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形，而Levy-Mises理论不考虑弹性变形，实质上后者是前者的特殊情况。由此看来，Levy-Mises理论仅适用于大应变，无法求弹性回跳及残余应力场问题。,2)Prandtl-Reuss理论和Levy-Mises理论都着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。即,3)上述理论仅适用于加载情况(即变形功大于零的情况)，并没有结出卸裁规律，卸裁情况下仍按虎克定律进行。,Prandtl-Reuss理论,Prandtl-Reuss理论的特点,增量理论虽然比较严谨，与实际情况比较接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从工程应用的角度讲是不方便的。许多学者（例如Hencky、Nadai、伊留申）相继提出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理论，也称为形变理论。其中伊留申提出的全量理论较为实用。伊留申指出，在塑性变形时，只有满足简单加载（也称为比例加载）条件时，才可以建立材料全量本构理论。,全量理论,简单加载 指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增加。为了建立全量理论，需要提出以下几点假设：,全量理论,1)塑性变形是微小的、和弹性变形属同一数量级；2)外裁荷各分量按比例增加，即单调递增，中途不能卸载，因此加载从原点出发：3)在加载过程中，应力主轴方向和应变主轴方向固定不变，且重合。这说明应力和应变的积累和递增是沿同一方向进行，对应变增量进行积分便可得到全量应变；,4)变形体不可压缩，即泊松比,在上述条件下，应变偏张量各分量与应力偏张量各分量成正比,由于塑性变形体积不变：,上式可写成：,G塑性切变模量E 塑性模量,等效应力,等效应变,塑性变形时应力-应变之间的关系，总可归结为应力强度与应变强度之间的函数关系，即，这种关系只与材料性质、变形条件有关，而与应力状态无关。,全量理论,所以,与广义虎克定律比较：,在塑性成形中，由于难于普遍保证比例加载，所以一般都采用增量理论，其中主要是列维米塞斯方程或圣文南塑性流动方程。但是，塑性成形理论中很重要的问题之一是求变形力，这时一般只需研究变形过程中某一特定瞬间的变形，如果以变形体在该瞬时的形状、尺寸及性能作原始状态，那么小变形全量理论和增量理论可以认为是一致的。此外，一些研究表明，某些塑性加工过程，虽与比例加裁有一定偏离，运用全量理论也能得出较好的计算结果，所以全量理论至今仍然得到应用。,全量理论,塑性变形时，当主应力顺序123不变，且应变主轴方向不变时，则应变的顺序与主应力顺序相对应，即123，(10，30),这种规律称应力应变“顺序对应关系”。,当,顺序对应关系和中间关系统称应力应变顺序对应关系。,证明：应力应变“顺序对应关系”,若：123，则(1-m)(2-m)(3-m),即：,123，应力偏分量的顺序也是不变的,根据Levy-Mises方程：,应力应变顺序对应规律,写成：,代入,得：,对于初始应变为零的变形过程，可视为几个阶段所组成，在时间间隔t1中，应变增量为：,在时间间隔t2中，应变增量为：,在时间间隔tn中，也将有：,由于主轴方向不变,应力应变顺序对应规律,由于始终保持12，故有：,所以：,即,同理：,又,证明：应力应变“中间关系”,若,则：,若,则：,若,则：,平面变形,注意：以上证明是根据增量理论导出的全量应变定性表达式，不应误认为是从全量理论导出的。,应力应变顺序对应规律,剪切类变形（平面变形）,压缩类变形,伸长类变形,应力应变顺序对应规律,塑性条件和本构方程是求解塑性成形问题时的两个重要的补充方程。,这二个物理方程中，都涉及到等效应力。,在本构关系中，总可归结为函数。,这种函数关系与材料性质和变形条件有关，而与应力状态无关。,可选择单向应力状态来建立这种函数关系。,单向均匀拉伸或压缩实验是反映材料力学行为的基本实验。,真实应力-应变曲线,真实应力-应变曲线,流动应力是泛指屈服应力，用Y表示，它既包括初始屈服应力，也包括后继屈服应力。流动应力又称真实应力，其数值等于试样瞬时横断面上的实际应力，它是金属塑性加工变形抗力的指标。,真实应力-应变曲线 将各种变形条件下的流动应力变化规律表达为真实应力与应变的关系，即真实应力应变的关系曲线。真实应力应变关系曲线一般由实验确定。因此，其实质上可以看成是塑性变形时应力与应变之间的实验关系。,简单拉伸实验,初始试件,弹性变形,非线性弹性变形,屈服平台,塑性变形,断裂,真实应力-应变曲线,拉伸实验确定的真实应力-应变曲线,标称应力（名义应力、条件应力）-应变曲线,真实应力-应变曲线,条件：室温，应变速率10-3/s，退火状态低碳钢，准 静力拉伸试验。,标称应力：,相对线应变：,P拉伸载荷；A0试样原始横截面积 l0试样标距的原始长度l试样标距的伸长量,p,s(0.2),b,p称为比例极限,s称为屈服应力如果材料没有明显的屈服点，规定残余应变的0.2%时的工程应力为屈服应力,b称为强度极限,真实应力-应变曲线,标称应力-应变曲线,产生缩颈后，虽然载荷下降，但横截面面积急剧下降，所以标称应力并不反映单向拉伸时试样横截面上的实际应力。同样，相对应变也并不反映单向拉伸变形瞬时的真实应变，因试样标距长度在拉伸变形过程中是不断变化的。所以，标称应力应变曲线不能真实地反映材料在塑性变形阶段的力学特征。,真实应力-应变曲线,真实应力-应变曲线,真实应力-应变曲线,在解决实际塑性成形问题时，标称应力-应变曲线是不够用的，且是不精确的。因变形是大变形，需要反映真实应力与应变的关系曲线，即为真实应力应变曲线。,（1）真实应力-应变曲线分类,真实应力，简称真应力，也就是瞬时的流动应力Y，用单向均匀拉伸(或压缩)时各加载瞬间的载荷P与该瞬间试样的横截面积A之比来表示，则,真实应力-应变曲线可分为三类：,是最常用的,a求出屈服点s(一般略去弹性变形),b找出均匀塑性变形阶段各瞬间的真实应力Y和对数应变,或,(从c点到b点按上式,注意b点载荷为Pmax）,真实应力-应变曲线,（2）的确定,c.找出断裂时的真实应力Yk及其对应的对数应变k,或,Ak试样断裂处的横截面面积（直接测量出）。,d.在Y-坐标平面内确定出Y-曲线。,真实应力-应变曲线,讨论：,a在均匀塑性变形阶段，应力与应变沿整个试件均匀分布，由于,因此，有,在缩颈点：,说明在这阶段中，真实应力Y大于条件应力（Y-曲线高于-曲线）。,b在集中塑性变形阶段，由于塑性变形发生在某一局部，形成缩颈。这时，条件应力应变曲线与真实应力应变曲线有明显的区别。,由于出现缩颈，P下降，A也下降，且A下降的速率要比P下降快得多，因而Y总是随变形程度增加而增加的，这正是硬化的作用，所以在曲线中无极值点。因此，真实应力应变曲线也称硬化曲线。,拉伸Y-曲线受塑性失稳的限制，精度较低，0.3,实际塑性成形变形量较大，如锻造1.6,反挤2.5，拉伸试验曲线不够用。需要压缩Y-曲线。,压缩试验的优点：压1还是均匀变形，可达到2或更大，如铜=3.9,缺点：摩擦,措施：充填润滑剂,真实应力-应变曲线,压缩实验确定的真实应力-应变曲线,真实应力-应变曲线,端面车沟槽或浅坑，保存润滑剂，如石腊等。,1.试样,2.每压缩10的高度记录一次压力与高度，车去鼓形，并使,3.重复压缩直至所需变形量。（一般=1.2即可）根据下式求各点的Y、，绘图。,真实应力-应变曲线简化及其所似数学表达式,1.幂指数硬化曲线(幂强化）,用指数方程表示,或,B强度系数 n 硬化指数（0n1),2.有初始屈服应力的刚塑性硬化曲线(刚塑性指数硬化）,3.有初始屈服应力的刚塑性硬化直线(刚塑性直线硬化）,为简化，用直线代替曲线,或,真实应力-应变曲线,B1、m为与材料相关的参数，通过试验可求。,4.无加工硬化的水平直线（理想刚塑性）,补充题：,某理想塑性材料，屈服应力为150N/mm2，已知某点的应变增量为：,平均应力为m=50N/mm2,试求该点的应力状态。,作业：,