【教学课件】第三章函数与数列.ppt

第三章 函数与数列,第一讲函数概念与函数图像,ax=b,数学也是一种语言,甲天=乙 二天 三地 人=四五，三天 三人 地=四二，四地 四人 天=五五，,数学符号产生的历史,Euclid的几何原本（Elements）就没有使用数学符号中国古代数学也没有使用“0”、小数点、分数和其他运算符号10世纪左右的阿拉伯数学用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数1516世纪，对数产生、方程求解，精确、简约的符号，、1920世纪，国际交往扩大，有了比较统一的国际通用的数学符号,中国接受和使用这些符号有过一个艰难的过程，1919年之后西方数学符号才随着教科书而普及开来1859年李善兰与传教士伟列亚力在翻译代微积拾级时，还使用许多自己创造的符号。今人读来，宛如读天书1902年江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字，被主考官以“以夷变夏，其心殊不可问”为借口逐出考场,用字母代表数的认知逐步发展,用文字描述结果；未知数可用字母表示，字母就是一个特定的未知数或一个具体的数。未知数、已知数都可用字母表示，字母可以代表几个数，且不一定是未知数。字母可以代表一个范围内的任意的数，可以表示变量，可以一般地表示量与量之间的关系。可以作为不定元参与数学运算。,从6年级到8年级是一个快速发展期,48年级学生对代数式中字母的理解,以下两个错误认知容易纠正：主动给字母赋值；因不知道代数符号的约定（如，数字与字母中间省略了乘号，括号的使用，在一个问题情景中，用同一个字母表示同一个特定的未知量）而出现的错误。,主动给字母赋值以便有答案,n+5与4相加，答案是 23，n+5与4相乘，得76。（n是第14个字母）如果e+f=8，则e+f+g=9（因为最简单的加一个数的方法就是加1）的周长算式为(13+14)2=54。若r=s+t且r+s+t=30,则r=?（先对第二个方程中的每个字母赋一个合理的值，比如，10101030，所以可以r=10,不知道代数符号的约定,化简：2a+5b+a 2a+5b+a=2+5+a+b+a，进一步写成7aba或者8ab 化简：3a-b+a3a-a-b=2a-b=3a-a-b=3-b 化简：2a+5a=21+51=72,比较难纠正和形成的认知,表示正数的字母前面应该是正号，表示负数的字母前面应该是负号不同的字母应代表不同的数代入具体数字来确定大小关系看到字母时仍习惯联想整数当问题的条件中没有明确出现字母时，用符号表示数量关系分清字母为常量还是变量将字母当成变量,不理解同一题中不同的字母可以代表相同的数,判断L+M+N=L+P+N恒成立、有时成立还是不成立“不成立”，理由是：(1)没有数字；(2)PM；（3）P和M还不知；（4）举例“一定成立”：理由是：（1）等式已写好；（2）字母是任意的数,解析式,不定元通过运算符号连接起来形成的数学式。不定元的个数称为解析式的“元”数，前后用加减号隔开的那一部分称为解析式的“项”。超越式：含有超越运算，如sin,lg解析式 无理式：含有开方运算 代数式 整式 有理式 分式：分母含有字母,含有四则运算、有理数次的乘方开方运算,函数的重要地位,运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。微积分研究对象是函数，几何图形是函数的图像，微分几何的对象是曲线的参数方程，数学建模更是以各种不同的函数来揭示世界万物之间的联系与变化，实变函数、复变函数、泛函分析 F.Klein倡导中学数学以函数为中心我国解放后中学数学（包括考试）也以函数为纲,函数的发展,古埃及、古巴比伦、古希腊、古印度、古代中国的数学中都研究过方程，但是都没有形成函数的思想。函数概念的产生是1617世纪由于人们对物体运动的研究，特别是对天体运动的研究而开始的。Galileo（15641642）自由落体运动S=0.5gt2、斜抛运动轨迹是抛物线Descartes（15961650）最先提出了“变量”的概念Newton认识到曲线是记录了点的连续运动Leibniz最早使用“函数”这个词，他用它表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量 李善兰在代微积拾级中译为“函数”,约翰伯努利给予函数的定义是由变量和常量所组成的式子（算式）Euler对函数概念先后给出了三种定义：变量的函数是一个解析表达式，是由这个变量和一些常量所组成的解析表达式“解析的函数概念”在xy平面上徒手任意画出的曲线所确定了的x与y之间的关系是函数“图象的函数概念”如果某些变量依赖于另一些变量，当后面的变量变化时，前面的变量也随之变化，那么前面的变量就叫做后面变量的函数。（变量说）,Cauchy定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数。以后，他又引入了新的定义：在变量间存在着一定的关系，当给定了某一变量的值就可以确定另一个变量的值时，后一个变量就是前一个变量的函数。Dirichlet定义：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。Riemann定义：对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，而不管如何建立x,y之间的对应方法，都将y称为x的函数。,对应说,布尔巴基学派的定义：若E、F是两个集合，二者的笛卡儿积是指 XY中的任何子集S称为x与y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个 都存在唯一的一个y，使得 则称关系F是一个函数。,关系说,变量说最为本质，但太依赖感觉对应说建立在“集合”和“对应”概念上，像狄利克雷函数，使用对应说就非常清晰关系说摆脱了数集之间关系的限制，不使用未经定义的日常语言，完全数学化了。,唯一？确定？取值唯一只是为了研究方便所进行的技术处理，如果不唯一，多值函数，中学里也有多值函数，如平方根函数，分成两枝处理，如反三角函数，则用取主值枝的方法,函数的表达方式,语言描述表格图形表达式在计算机时代，尤其要重视图、表表示法,请作出经过A、B两点与A、B、C三点的函数图像,一名学生认为以下都不是函数，如果你认为该学生做得不对，试解释是什么想法导致错误：()()()()将所有的正数对应到1，将所有负数对应到-1，将0对应到3的一个对应关系。()(),如何判断,一个图像是否是一个函数的图像？垂直线判断法一个图像是否是一个有反函数的函数的图像？垂直线判断法平行线判断法,用计算器计算，感受,对数缓增，幂次适中，指数爆炸,函数就在我们身边,语言指数增长、直线上升、周期性发展、单调下降随一个量的变化而变化每一次的考试成绩、出租车车费规则、一年的日平均气温值、圆周长与圆半径函数教学的过程应体现实际背景的体验归纳出变量说研究正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数，结合图像分析指出变量说的限制，精确化到对应说，突出对应法则函数机器，动态的变化曲线,探索具体问题中的数量关系和变化规律,在某地，人们发现蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度温度（oC）与叫的次数关系是：温度=蟋蟀每分叫的次数7+3 试用字母表示这一关系5名同学见面，彼此握一次手，一共握了多少次？10名同学呢？（如可以用列举、画图等方法）,注重过程，注重数学化,按如图方式，搭1个正方形需要4根小棒。搭2个正方形需要_根小棒，搭3个正方形需要_根小棒（1）搭10个这样的正方形需要多少根小棒？（2）搭100个这样的正方形呢？你是怎样得到（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根小棒？（4）你是怎样表示搭x个这样的正方形需要多少根小棒的？与同伴进行交流,如下是月历，你知道阴影方框中的9个数的和与阴影方框的中间数有什么关系吗？这个关系对任意一个这样的方框都成立吗？为什么？,一般地，中间数99个数之和，平均数,线性函数,较少电话,经常通话,月租$20,无月租费,列表法,通话时间（分）,有月租,无月租,$20.00,0,$0.00,$21.00,10,$4.50,$22.00,20,$9.00,$23.00,30,$13.50,$24.00,40,$18.00,$25.00,50,$22.50,其他方法,cost,#of minutes,公说公有理，婆说婆有理,香港某厂 的业绩如下：年份 1990 1991 1992股东红利 5万 7.5万 10万工资总额 10万 12.5万 15万,200%150%100%,15万10万5万,老板所画:都增加5万，公平,工会主席所画：股红增加到200，工资总额增加到150，不公平,看图分析实际问题中的函数关系,例 小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回.父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？,时间与距离关系图,从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回.父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家,一位生物学家对当水温变化时所引起的水里微生物数的变化很感兴趣。他收集了以下数据：根据以上数据作出散点图,描述一下水温与微生物数之间的关系。图象与坐标轴交点的实际意义是什么？何时水中的微生物数最多？,作业,如果水中的微生物数不超过300，那么就认为水质污染不严重，不需要治理。水温为多少时，水中微生物数不超过300？请说明理由。,