【教学课件】第七节空间直线方程.ppt

第七节 空间直线方程,一、直线的点向式方程二、直线的一般式程三、直线的参数式方程四、两直线间的关系五、直线与平面之间的关系,一、直线的点向式方程,设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建立过点M0且平行于向量s 的直线.,称s为该直线的方向向量.,称式(1)为直线的点向式方程，或称为标准方程，或称为对称式方程.m，n，p为直线的方向数.,直线的点向式方程描绘了直线过点M0(x0,y0,z0)，且平行于向量s=(m,n,p)的特点.,如果m=0，则直线的点向式方程中约定xx0=0，等等.,由于所作出的直线平行于向量s，因此M0Ms，从而有,例1 求过点M0(1,2,1)，且平行于向量s=(2,1,1)的直线方程.,解 由直线的点向式方程可知所求直线的方程为,二、直线的一般式方程,空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比例的三元一次方程组,表示一条直线，称方程组(2)为空间直线的一般式方程.,例2 试由直线的点向式方程导出该直线的一般式方程.,解 所给直线的点向式方程等价于,整理可得其一般式方程,三、两直线间的关系,两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.,设这两条直线的方程为,则它们的方向向量分别为s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2).,若两条直线垂直，则它的方向向量也垂直，反之亦然，所以两条直线垂直的充分必要条件为,若两条直线平行，则它的方向向量也平行，反之亦然，所以两条直线平行的充分必要条件为,由两向量夹角余弦公式可知，这两条直线的夹角 满足,例3 已知直线,判定L1与L2的关系.,解 由于L1与L2的方向向量分别为s1=(1,4,1)，s2=(3,1,1).因此L1，L2的夹角 满足,故，可知L1与L2垂直.,例4 求过点(1,1,0)且与直线 平行的直线方程.,解 设过点(1,1,0)的直线方程为,由于所求直线与已知直线平行，因此有,其中m，n，p为直线的一组方向数.由上述比例式的约定，应取p=0.不妨设前两项，则m=2，n=1,为所求直线方程.,四、直线与平面之间的位置关系,若给定直线L与平面方程分别为,过直线L作一个与平面垂直的平面1，则称1与的交线为直线L在平面上的投影线，直线L与投影线 相交确定两个角.定义其中介于0与 之间的角 为直线与平面间的夹角.直线L与平面的法线向量n之间的夹角为 或.,由两向量间夹角余弦公式可得,上述公式就是直线与平面间夹角公式.,若Aa+Bb+Cc+D=0，表明点(a,b,c)在平面上.直线L既与平面平行，又与平面有交点，因此直线L落在平面上.,例6 判定下列各组平面与直线间的位置关系：,解 只需判定直线的方向向量与平面的法线向量之间的关系.,(1)L的方向向量s=(2,7,3)，的法线向量n=(4,2,2).由于,可知L.由于M0(2,2,3)在直线L上，将M0的坐标代入的方程可得,即M0(2,2,3)不在平面上，因此知直线L平行于，但不在上.,(2)L的方向向量s=(3,1,4)，的法线向量n=(1,1,1).由于,可知L.由于M0(2,2,3)在直线L上，将M0的坐标代入的方程可得,可知M0(2,2,3)在平面上，因此直线L落在平面上.,(3)L的方向向量s=(3,2,7)，平面的法线向量n=(3,2,7)，易见s=n，可知L.,(4)直线L的方向向量s=(3,1,2)，的法线向量n=(1,1,1).易见s与n的分量不成比例.又,可知s也不垂直于n，故L与斜交，且交角 满足,