【教学课件】第一节二次型的矩阵表示.ppt

第一节 二次型的矩阵表示,一、二次型的定义,二、二次型的矩阵表示,三、非退化线性替换,四、矩阵的合同,一、二次型的定义,1.问题的引入,在解析几何中，,一个有心二次曲线的一般方程是,当坐标原点与中心重合时，,为了便于研究这个二次曲线的几何性质，,择适当的角度作转轴（反时针方向转轴）,可以选,把方程化成标准方程。,在二次曲面的研究中也有类似的情况.,从代数的观点看，,所谓化标准方程就是对二次齐,次多项式，,作适当的非退化线性替换,平方项的多项式。,使它化为只含,2、二次型的定义,称为数域P上的一个n元二次型,n个文字 的二次齐次多项式,设P为数域，,二次齐次多项式(二次型):三次齐次多项式(三次型):,注：,2)式 也可写成,1)为了计算和讨论的方便,式中 的,系数写成,例如,就是有理数域上的一个三元二次型。,约定中,二、二次型的矩阵表示,1)用和号表示,由,有,2)用矩阵表示,二次型可表示为,因为,所以,例1 二次型,用矩阵可表示为,1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即,注：,2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,若 且，则,若 A,B都 是实对称矩阵,且对应的二次型 相同，即,证 先取x为单位向量 ei=(0,1,0)T(第i个分量为1,其余为 0)，代入上式得aii=bii(i=1,2,n),再取 x 为向量 eij=(0,1,1,0)T(第 i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得aij=bij(ij),则 A=B,所以,A=B,例2 1）写出二次型 所对应的矩阵。2）写出矩阵 所对应的二次型。,解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：,2）矩阵对应的二次型为：,例3 指出下列二次型的矩阵,3）复数域C上的4元二次型,它们的矩阵分别是：,1）实数域R上的2元二次型,三、非退化线性替换,1、定义：,是两组文字,，关系式,称为由的一个线性替换;,注：,则为非退化线性替换.,2）若 为非退化线性替换，则有非退化,线性替换,若,即，B为对称矩阵.,2、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,事实上，,是一个 二次型.,四、矩阵的合同,1）合同具有,对称性：,反身性:,注:,1、定义：设，若存在可逆矩阵,使，则称A与B合同.,传递性:,即C1C2可逆.,2）合同矩阵具有相同的秩.,C可逆,3）经过非退化线性替换，新二次型矩阵与,原二次型矩阵是合同的.,例2证明：矩阵A与B合同，其中,一个排列.,证：作二次型,故矩阵A与B合同.,对作非退化线性替换,则二次型化为（注意 的系数为）,