【教学课件】第一章逻辑代数基础.ppt

绪论,一、本课程的性质和任务,数字电子技术是电器类、自控类和电子类、计算机类专业在电子技术方面入门性质的技术基础课。,本课程的任务是使学生获得数字电子技术方面的基本理论、基础知识和基本技能，培养学生分析问题和解决问题的能力，为深入学习计算机、数控类有关课程以及为今后从事专业工作打下良好的基础。,性质：,任务：,计算机系统相互连接构成网络，缩小变成单片机、嵌入式系统等,课程之间的联系,组成原理、接口技术、外部设备,电子技术、数字逻辑,物理,程序设计,算法和数据结构,离散数学、程序和计算理论,数学和逻辑学,电磁学,系统结构,网络,编译、汇编、解释成机器码,操作系统,执行,数据库、网络编程、图形图像、游戏、计算机仿真等,嵌入式系统、可编程逻辑等,硬件,软件,二、如何学好这门课,2、数字电子技术比模拟电子技术好学。,3、重视习题。,4、重视实验课。实验是培养动手能力，同时有助于理论的深化，希望大家加强重视。,1、数字电子技术是一门全新的课程，任何同学只要认真的下点功夫就一定能学好。,三、数字电路的优点：,2、抗干扰能力强，精度高。,（2）模拟系统的精度由元器件决定，模拟元器件的精度很难达到10-3 以上，而数字系统只要14位就可以达到10-4 的精度。在高精度的系统中有时只能采用数字系统。,1、基本单元电路简单。对电路中各元器件参数的精度的要求相对不高，允许有较大的分散性，只要能区分两种截然不同的状态即可。,（1）由于数字电路加工和处理的都是二进制信息，不易受到外界的干扰，因而抗干扰能力强。而模拟系统的各元件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应的等的影响。,3、数字信号便于长期存储,4、保密性好,5、通用性强,由于数字部件具有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产，而对电路参数要求不严，故产品成品率高。采用标准化的逻辑部件来构成各种各样的数字系统，省时省力。,第一章 数字逻辑基础1.1 概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算1.3 基本公式、基本定理和常用公式1.4 逻辑函数及其表示方法1.5 逻辑函数的公式化简法1.6 逻辑函数的卡诺图化简法,t,1.1.1 数字量与模拟量,模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。,数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。,u,u,模拟信号波形,数字信号波形,t,t,对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。,对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。,一、数字信号的特点:,数字信号在时间上和数值上均是离散的。数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流,图1.1.1 典型的数字信号,有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。如果采用正逻辑，图所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。,二、正逻辑与负逻辑,数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。,1.1.2 数制与码制 数制是人们对数量计数的一种统计规则。一种进位计数包含着两个基本因素：(1)基数：它是计数制中所用到的数码个数，常用R表示。(2)位权：处在不同数位的数码，代表着不同的数值，每一个数位的数值是由该位数码的值乘以处在这位的一个固定常数。不同数位上的,十进制中，包含0,1,2,9等10个数码。进位规则是“逢10进1”。所以它的基数R10。,(例如),固定常数称为位权值，简称位权。如十进制数1111，同样都是1，它们所处的数位不一样，那么它们所代表的数值就不一样。犹如：同样都是人，他们所处的地位不一样，那么他们的权力不一样。拿我们的军队来讲：又如杆秤，同样一个秤砣，它处的位置不一样，那么所表示的重量也是不一样的。下面对常用的几种数制一一介绍（如表1-1-1）,(例如),十进制数个位的位权值是1，十位的位权值是10，百位是10，依次类推。,司令,军长,师长,旅长,团长,营长,连长,排长,班长,战士,表1-1-1 各进制特点对照表,一、各种进制转换成十进制 基数为R的R进制转换成十进制的方法很简单，只要按公式就可求得。【例1.1.1】一个二进制数为(1010.011)2化为十进制数。解：(1010.011)2=,数制间的转换,二、十进制转换成R进制 一个任意的十进制数可以由整数部分和小数部分构成，若设整数部分为M1，小数部分为M2。则整数部分为：(M1)10=an-1Rn-1+an-2Rn-2+a2R2+a1R+a0 我们将这种方法取名为除以R取余法，逆序排列。其中R为基数。,小数部分为：(M2)10=a-1R-1+a-2R-2+a-mR-m 我们将这种方法取名为乘以R取整法，顺序排列。,【例1.1.2】将十进制数10.375转换成二进制数(R=2)。解：将十进制数10.375的整数部分和小数部分分别转换。整数部分转换采用除以R取余法(在本例中R=2)2 10 余数 对应二进制数码（数符）2 5 0 a0 2 2 1 a1 2 1 0 a2 0 1 a3 于是(10)2=(1010)2,小数部分采用乘以R取整法(在本例中R=2)整数部分 对应二进制数码（数符）0.3752=0.75 0 a-1 0.752=1.5 1 a-2 0.52=1.0 1 a-3 剩余误差e=0 于是(0.375)10=(.011)2+e=(.011)2最后得到(10.375)2=(1010.011)2,三、二进制与八进制、十六进制之间的转换 1.八进制转换为二进制 把八进制数每位数用三位二进制数表示即可。【例1.1.3】将八进制数(312.64)转换成二进制数。解：(3 1 2.6 4)8=(011 001 010.110 100)2=(11001010.1101)2,2.二进制转换为八进制 二进制数转换为八进制数时，以小数点为界，分别向左、向右以三位为一组，最高位不到3位的用0补齐，最低位不到3位的也用0补齐，然后将每三位的二进制数用相应的八进制数表示。【例1.1.4】将二进制数(10110.11)2转换成八进制数。解：二进制数 10 110.11 对应的八进制数.于是(1011011)2=(36.6)8,0,0,3.十六进制转换为二进制 将每位十六进制数用相应的四位二进制数表示。【例1.1.5】将十六进制数(21A.5)16 转换成二进制数。解：十六进制数对应的二进制数(21A.5)16=(0010 0001 1010.0101)2=(1000011010.0101)2,4.二进制转换为十六进制 二进制数转换为16进制数时，以小数点为界，分别向左、向右以四位为一组，最高位不到4位者用0补齐，最低位不到4位者也用0补齐，然后将四位二进制数用相应的十六进制数表示。【例1.1.6】将二进制数(1100101.101)2转换为十六进制数 解：二进制数对应的十六进制数(1100101.101)2=(110 0101.101)2=(65.A)16,0,0,编码就是用二进制码来表示给定的信息符号。信息符号可以是十进制数符0，1，2，9；字符A、B、C、；运算符“+”、“-”、“=”等。一、带符号的二进制编码 在数字系统中，正、负的表示方法是：把一个数最高位作为符号位，用“0”表示“+”；用“1”表示“-”。其表示法有原码、反码和码.,编 码（码制）,1.原码(True Form)原码表示法又称符号数值表示法。正数的符号位用“0”表示；负数的符号位用“1”表示；数值部分保持不变。2.反码(Ones complement)反码的符号表示法与原码相同，正数反码的数值部分保持不变，而负数反码的数值是原码的数值按位求反。3.补码(Twos complement)补码的符号表示和原码相同。正数的补码数,X1=+1101 X2=1101(X1)原=1101(X2)原=11101(X1)反=01101=1101(X2)反=10010(X1)补=(X1)原=(X1)反=01101=1101(X2)补=10011,二、十进制的二进制编码 用二进制数码按照不同规律编码来表示十进制数。一个十进制数有十个不同数码，需要用四位二进数才能表示。四位二进制数可组成16种不同的状态。一般可分有权码和无权码。有权码是指四位二进制数中的每一位对应有固权。无权码是指四位二进制数中每一位无固定的权，遵循另外的规则。表所示几种有权码。,表1.1.2 几种常见的BCD代码,8421-BCD+“0011”,相邻两码只有一位不同,三、字符编码 在数字系统中，还需要把符号、文字、图像等用二进制数表示，这样的二进制数称为字符代码。目前在国际上用得比较多的字符有:十进制数09；大写和小写英文字母各26个；通用运算符号(+、-、等）及标点符号共有128种。可用七位二进制数对它们进行编码。(表1.1.3),表1.1.3 七位ASCII码表,加法、减法、乘法、除法1）二进制的加法运算二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位)例：计算1101+1011的和（2）二进制数的减法运算二进制数的减法运算法则也只有四条：0-0=00-1=1(向高位借位)1-0=11-1=0例：计算11000011 00101101的差,1.1.3 算术运算和逻辑运算,（3）二进制数的乘法运算二进制数的乘法运算法则也只有四条：0*0=00*1=01*0=01*1=1例：计算11101101的积由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全0。部份积的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。（4）二进制数的除法运算二进制数的除法运算法则也只有四条：00=001=010=0(无意义)11=1例：计算100110110的商和余数。由算式可知，(100110)2(110)2得商(110)2，余数(10)2。但在计算机中实现上述除法过程，无法依靠观察判断每一步是否“够减”，需进行修改，通常采用的有“恢复余数法”和“不恢复余数法”，,逻辑变量的概念在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、C、表示。逻辑变量只能有两种可能的取值：“1”或“0”。这里的“1”和“0”并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。譬如是与非，真与假，有与无，通与断，三极管放大器饱和导通与截止等。“1”表示条件具备或事情发生；“0”表示条件不具备或事情不发生。反之，亦然。,1.2 逻辑代数中的三种基本运算,例如,在下图所示的电路中,指示灯是否亮取决于开关是否接通.如果我们定义：F=1表示灯亮，F=0 表示灯灭；则 A=1 表示开关接通，A=0 表示开关断开。,一、基本逻辑运算,与逻辑举例：设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表。,与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。,1与运算,若用逻辑表达式来描述，则可写为,2或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。,或逻辑举例：,若用逻辑表达式来描述，则可写为：LA+B,3非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,非逻辑举例：,若用逻辑表达式来描述，则可写为：,2或非 由或运算和非运算组合而成。,1与非 由与运算和非运算组合而成。,二、其他常用逻辑运算,异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑表达式为：异或也可写成与或非的形式：,3异或,(a),4同或,同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。异或的逻辑表达式为：,1.3 基本公式、定律和常用规则,一、基本公式、定律,1.常量之间的关系：,2.基本定律：,令A=0、A=1代入这些公式，即可证明等式成立,上面各式可用真值表证明，即：等式两边所对应的真值表相等，等式成立。,二、常用规则,1.代入规则：将等式两边出现的同一变量都用一个相同逻辑函数代替，则等式仍然成立。,例如：已知，用函数Z=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,2.反演规则：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Z的反函数。,这是摩根定理扩展为三变量的形式,“先括号、然后乘、最后加”；不在一个变量上的反号应保留不变。,例如：,3.对偶规则：对偶式Z/：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Z的对偶式Z/。,对偶规则:凡原式成立，则其对偶式也成立。,例如：原式:,对偶式:,例如：,描述逻辑函数的方法有：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图等。,1.4逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数表达式用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间关系的代数式，叫逻辑函数表达式。任何一见具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。例如，图是一个举重裁判电路，可以用一个逻辑函数表达式来描述它的举重功能。比赛规则规定，在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判)认定运动员的运动合格，试举才算成功。比赛,时主裁判掌握着开关A，两名副裁判掌握着开关B和C。当运动员举起杠铃时，裁判认为动作合格了就合上开关，否则不合。显然，指示灯y的状态（亮与暗）是开关A、B、C状态（合上与断开）的函数，其逻辑函数表达式为 y=A（B+C）,图举重裁判电路,二、真值表将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。三、逻辑图将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以表示函数关系的逻辑图。,四、卡诺图卡诺图是图形化的真值表。如果把各种输入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的方格图中，即可得到逻辑函数的卡诺图。,已知真值表求逻辑表达式和逻辑图,一、已知真值表求函数式,1.找出真值表中函数值为1的输入变量组合;2.将这些变量组合分别写成乘积项。乘积项中，凡变量值 为1的因子写成原变量、为0的因子写成反变量。3.将上述乘积项相加即可。,例如：,真值表,Z=,1,2,3,步骤：,二、已知函数式画逻辑图,方法：由函数式中所对应的逻辑符号画出逻辑图。,例如：,按先“与”后“或”的运算顺序画：,已知逻辑表达式求真值表和逻辑图,方法：将输入变量取值的所有组合（2n种；n为输入变量个数）逐一代入函数式中，算出函数值，并一一对应地列成表。,例如：,真值表,逻辑图：,已知逻辑图求逻辑表达式和真值表,方法：由逻辑图的输入端开始，逐级写出各逻辑符号输出端的 表达式；再由表达式得真值表（略）。,例如：,逻辑图：,1.5 逻辑函数的代数化简法,一个逻辑函数确定后，其真值表唯一，但其表达式却有多种形式，而对应不同的表达式就有不同的逻辑图；最简表达式所代表的电路元件最少、成本最低、可靠性好、传输时间短，因此，逻辑函数必须化简。,一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义1.基本形式：,如：,与或式,与非与非式,或与非式,或非或式,或与式,或非或非式,与或非式,与非与式,2.最简与或式的含义：乘积项的个数最少；每个乘积项里的 变量个数也最少。,二、代数化简法（公式法）,1.定义：利用逻辑代数的基本公式、定律对逻辑函数进行化简 的方法。,一般逻辑函数都化简成最简与或式（最基本的），由最简与或式可变换为其他形式的最简式。,2.常用的公式化简方法：,例如：,1.,并项法,2.,吸收法,4.,3.,消去法,配项法,代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。,1.6 逻辑函数的卡诺图化简法,逻辑函数不仅可用真值表、表达式、逻辑图来表示，还可用卡诺图表示。利用卡诺图化简逻辑函数，简捷直观、灵活方便，容易判断函数是否为最简式。卡诺图化简法适用于四变量以内的逻辑函数的化简。下面先介绍卡诺图中涉及到的概念。,1.6.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式,一、定义 对于n个变量的函数，如果与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为函数的最小项（共有2n个）。,二、最小项编号 是n变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。,这样的与或表达式称为最小项表达式（标准与或式）。,例如：Z(A、B、C）的真值表如下：,编号,代号,最小项,最小项表达式：,三、最小项性质1.对输入变量任何一组取值在所有最小项（2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。2.在输入变量的任何一组取值下,任意两个最小项的乘积为0。全体最小项的和为1。若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。具有逻辑相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并可消去一个因子。任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式，而且这种形式是唯一的。,1.6.2 逻辑函数的卡诺图表示方法,一、卡诺图的画法规则 1.卡诺图:用图示的方法,将n个变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得的图形叫做n变量的卡诺图。2.画法规则：n个变量，有2n个最小项，用2n个小方格构成方形或矩形图。要求：1）上下、左右、相对的边界、四角等相邻格(几何相邻)只允许一个因子发生变化。2）左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。3）变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。,二、用卡诺图表示逻辑函数1.方法:将函数的最小项表达式中含有的最小项在卡诺图对应的小方格中填1，没有的填0或不填。,例如：,三变量的卡诺图：,四变量的卡诺图：,1,1,1,例如：,Z的卡诺图：,2.卡诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换：1）由真值表画卡诺图：,例如：,1,1,1,1,2）由逻辑函数与或式画卡诺图：,例如：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3）由卡诺图写与或式：,例如：,1.6.3 用卡诺图法化简逻辑函数,一、步骤1.将函数变换为与或式；2.画出卡诺图；3.将2n个有1的相邻小方格圈出（所圈小方格数是2的整次幂，即：1个、2个、4个、8个小方格为一个圈），提出公因子；4.将公因子相加。,因卡诺图中的最小项几何相邻必定逻辑相邻，故几何相邻的最小项可以提取公因子，而消去不同项，这样就可以用卡诺图来化简逻辑函数。,二、画圈原则1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。3.同一个“1”小方格可以被圈多次。4.每个圈中要有新的“1”。5.画圈时，可先圈大，后圈小。6.不要遗漏任何“1”的小方格；最后还要删除多余圈。,例如：用卡诺图化简下列函数：,1.,1,1,1,1,1,1,2.,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3.,1,1,1,1,1,4.,1,1,1,1,1,1,1,1,或:,多余圈(删除),1.6.4 具有无关项的逻辑函数及其化简,一、无关项的含义及其表示方法 1.含义:包括任意项和约束项。在2n个最小项中，那些对输出没有影响（称任意项）或不会、不允许出现的输入变量（称约束项）的组合所对应最小项，称无关项。它与函数值无关。例如：8421BCD码中，10101111六种组合不允许出现，为无关项。2.表示方法:,例如：,也可写成:,二、具有无关项的逻辑函数化简 1.无关项在卡诺图、真值表中的表示法:用“”填写无关项，既可 当“”，也可当“0”。2.画圈原则：1）圈中不能全是无关项；2）无关项可以不圈。,例如：用卡诺图化简下列函数：,1.,1,1,1,2.,1,1,1,1,1,本章小结,1.数字电路与模拟电路是电子电路的两个分支,它们的主要区别在于它们传输及处理的信号不同、半导体器件的工作状态不同、研究内容和分析方法不同等。数字电路的应用非常广泛。2.数字系统中采用二进制，它与十进制、八进制、十六进制的区别在于各位的权不同。它们之间的相互转换也比较简单。8421BCD码是数字系统中常用的二十进制编码方法,只需将4位二进制数中的00001001保留，而去掉10101111六种状态，就可表示十进制数09十种状态。3.三种最基本的逻辑函数有与、或、非；复合逻辑函数有与非、或非、与或非、异或、同或等。,它们都可以用真值表、逻辑表达式、逻辑符号和卡诺图来表示，这几种表示方法之间可以相互转换。4.逻辑代数是分析和设计数字电路的基础，对于逻辑代数中的基本公式、定律和常用规则在于理解和熟记。5.逻辑函数的化简方法有两种；代数化简法和卡诺图化简法。代数化简法需要一定技巧，并对公式和定律非常熟悉。卡诺图化简法直观、简便，对四变量以下的逻辑函数可较快地得到最简表达式，要重点学握。具有无关项函数的化简在实际使用时经常遇到，应充分利用其特点将函数化的更简单。,第一章作业,P38题1.2P39题1.7（3）、（6）题1.8（6）、（9）P40题1.9P41题1.13（3）、（5）、（8）题1.14（2）、（4）,