【教学课件】第一章函数与极限.ppt

第一章 函数与极限,返回,（二）函数概念,（三）极限概念,（四）连续概念,第一章 函数与极限,（一）基本概念,（五）典型例题,（一）基本概念,具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成集合的事物称为该集合的元素.,如：,N=1,2,.（自然数集）,Z=n|n=0,1,2,.（整数集）,Q=x|x为有理数（有理数集）,R=全体实数（实数集）,子集：,相等：,空集为任何集合的子集.,空集：,1.集合的定义,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,开区间：,闭区间：,半开区间：,2.区间,如：,3.邻域,定义,运算性质:,绝对值不等式:,4.常量与变量,在某过程中，数值保持不变的量称为常量,而数值变化的,量称为变量.,通常用a,b,c 等表示常量,用x,y,t 等表示变量.,5.绝对值,（二）函数概念,函 数的定义,反函数,隐函数,反函数与直接函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数的性质奇偶性单调性有界性周期性,双曲函数与反双曲函数,函数的内容结构,2.函数分类,函 数,初等函数,非初等函数,代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整式函数,有理分式函数,设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集，如果对于每个数 xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值 y 和它对应,则称 y 是 x 的函数，记作 y=f(x).,1.函数定义,3.函数的对应关系,函数的图形,4.函数的特性,有界,无界,(1)函数的有界性:,(2)函数的单调性:,偶函数,如果对,如果对,奇函数,(3)函数的奇偶性:,(4)函数的周期性:,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,5.基本初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,注意:,并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.,6.复合函数与初等函数,7.双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,奇函数,有界,双曲正切函数,奇函数,奇函数,双曲函数常用公式,（三）极限概念,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小及其性质,唯一性,两者的关系,无穷大,极限的内容结构,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,则称 a 是数列 的极限.,则称 a 是数列 的极限.,或说数列 收敛于a.记作,-N 定义：,或说数列 收敛于a.记作,直觉定义：,1.数列的定义,2.函数极限定义,对极限的刻画,对过程的刻画,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,常数与无穷小的乘积是无穷小.,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,在同一过程中,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,3.无穷小与无穷大,(2)唯一性,(1)有界性,4.关于极限的几个基本定理,推论 收敛的数列必定有界.,推论 每个收敛的数列只有一个极限.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,注意：无界数列必定发散.,定理,推论,(4)保号性,(3)保序性,定理,推论,(7)无穷小与函数极限的关系:,(6)极限与左右极限的关系,(5)子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定理,等价替换性：,四则运算性：,推论1,推论2,5.极限的运算性质,(夹逼准则),(1),(2),7.两个重要极限,6.判定极限存在的准则,8.无穷小的比较,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子或无穷因子法求极限;c.分0极限因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用两个准则求极限;f.利用两个重要极限求极限;g.利用等价替换求极限;h.利用左右极限求极限.,9.求极限的常用方法,（四）连续概念,左右连续,在区间a,b上连续,连续函数的 性 质,初等函数的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的充要条件,连续函数的运算性质,非初等函数的连续性,连续的内容结构,1.连续的定义,定理,2.单侧连续性,(1)跳跃间断点：,(2)可去间断点：,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,第二类间断点：,3.间断点的分类,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理3,定理4,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,连续函数经加、减、乘、除（在分母不为0处）后仍为连续函数.,定理2,4.初等函数的连续性,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,5.闭区间上连续函数的性质,例1,解,（五）典型例题,解,利用函数表示法的无关特性，,代入原方程得,代入上式得,例2,解之，得,解,将分子、分母同乘以因子(1-x),则,例3,解,例4,解,例5,解,例6,证,讨论:,例7,由零点定理知,综上,测 验 题,测验题答案,