【教学课件】第3章点、直线和平面的投影.ppt

第3章 点、直线和平面的投影,31 点在三面体系中的投影,32 直线的投影,33 直线上的点,34 一般位置线段的实长及对投影面的倾角,35 两直线的相对位置,36 直角的投影,38 平面上的点和直线,37 平面的投影,39 点、直线和平面轴测图的画法,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,31 点的投影,V,X,O,水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 轴 OX,1、两投影面体系的建立,二、点在两个投影面上的投影,2、两投影面体系中点的投影,点A的水平投影 a点A的正面投影 a,A,Z,Y,X,3、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,4、两面投影图的画法,5、两面投影图的性质,1)aaOX 2)aax=Aa,aax=Aa,通常不画出投影面的边界,三、点的三投影面体系中投影,1、投影面体系建立,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,2、空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,3、投影面展开,1.aaz=aay=Aa=xA 2.aax=aaz=Aa=yA 3.aax=aa y=Aa=zA,4、点的直角坐标与三面投影的关系,因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。,1.aa X轴，aaz=aay=XA2.aaZ轴，aax=aa y=ZA3.aax=aaz=YA,5、三投影面体系中点的投影规律,6、特殊点的投影,四、两点的相对位置,两点中x值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上,5、重影点的投影,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,例题2 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,一 直线的投影,1 直线投影的基本特性 一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。,直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。,2 各种不同位置直线的投影,按直线与投影面的相对位置分为三种情况：垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种,3-2 直线的投影,二、直线的分类,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,1、投影面的平行线,凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线统称为投影面的平行线。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平线；平行于水平投影面（H面）的称为水平线；平行于侧投影面（W面）的称为侧平线。,(1)水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性：1ab OX;ab OYW 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性：1 ab OX;a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab OZ;ab OYH 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,a,b,规定：与H面的夹角为，与V面的夹角为，与W 面的夹角为。、均 900；任意两角之和等于900。,V,H,W,X,Y,Z,投影面平行线的投影特征为：a 直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。,Y,Z,b 直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。,Y,Z,2、投影面垂直线,凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其中：,垂直于正投影面（V面）的称为正垂线；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂线；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂线；,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX;a b OYW 3 a b=a b=AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OX;ab OZ 3 ab=ab=AB,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH;ab OZ 3 ab=ab=AB,从属于V 面的直线,从属于V 投影面的铅垂线,从属于OX轴的直线,投影面垂直线的投影特征为：a 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间 的距离。,a(b),b 直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。,一般位置直线,3、一般位置直线,凡同时倾斜（即既不平行，也不垂直）于三个投影面的直线称为一般位置直线。,一般位置直线,投影特性：1 a b、ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映、实角,V,H,W,X,一般位置直线的投影特征为：a 三个投影与投影轴既不平行也不垂直。b 任一投影均不反映该直线的实长，且小于实长。,Y,Z,c 任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任何投影面的真实夹角。,Z,33 直线上的点,1、直线上点的两个重要特性：（1）从属性 直线上的点，其 各个投 影必在该直线的同面投影上。,（2）定比性 直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例。,解：方法一 先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出k。,方法二使用定比性。,直线和直线的相对位置,【例1】已知直线DE的正面投影和水平投影及线上K点的正面投影k,试求出K点的水平投影,a,b,a,b,C,c,X,O,【例2】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,2、直线的迹点,（1）迹点的定义：直线与投影面的交点,（2）迹点的分类：水平迹点（M）、正面迹点（N）和侧面迹点（S）。,四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1,3-4 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,例题2 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,有三种情况,平行相交交叉（既不平行，也不相交）,3-5 直线和直线的相对位置,1 两直线平行,投影特征：其同面投影必相互平行,根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。,应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图,a,b,c,d,e,f,a,b,d,c,e,f,a,b,c,d,e,f,两直线相交,2 两直线相交,两直线相交的投影特征是：其同面投影必定相交,且交点的连线垂直于相应的投影轴。,(1)画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。,解：,(2)使用定比分割原理。,(不相交）,3 两直线交叉,投影特征：其同面投影不会同时平行，其同面可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。,交叉两直线重影点投影的可见性判断,例 不用第三面投影试判定直线AB和 CD是平行还是交叉。,O,X,a,b,a,b,d,c,c,d,交叉,3-6 直角的投影,定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,一、垂直相交的两直线的投影,二、交叉垂直的两直线的投影,例题1,例题2,例题3,一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,二、交叉垂直的两直线的投影,试判定两直线是（1）相交（2）垂直相交（3）交叉。,a,b,c,d,a,b,c,d,O,X,相交,试判定两直线是（1）相交（2）垂直相交（3）交叉。,a,b,c,d,a,c,d,O,X,交叉,例题1 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,例题2 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,例题3 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,37 平面的投影,1 平面的表示法,（1）用投影来表示平面图形,不在同一直线上的三点,两平行直线,一直线和线外一点,两相交直线,任意的平面图形,2、平面的迹线表示法,迹线：平面与投影面的交线,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,3、各种不同位置平面的投影特征,按平面相对与投影面的位置有三种情况,（1）投影面的垂直面,凡垂直于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的平面统称为投影面的垂直面。其中：垂直于正投影面（V面）的称为正垂面；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂面；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂面。,规定：与H、V、W面的夹角分别为、，、均为 900，任两者之和等于900。,Q,投影面垂直面的投影特征为：a 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角。b 平面的另两个投影均为小于实形的类似形。,Y,（2）投影面的平行面 凡平行与某一个投影面，同时垂直于另两个投影面的平面统称为投影面的平行面。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平面；平行于水平投影面（H面）的称为水平面；平行于侧投影面（W面）的称为侧平面。,Q,投影面平行面的投影特征为：a 平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形。b 平面的另两个投影均积聚成一直线，且分别平行于相应的投影轴。,思考：投影面的平行面与投影面的垂直面有何区别？,3 一般位置平面 凡同时倾斜（即既不平行，也不垂直）于三个投影面的平面称为一般位置平面。,一般位置平面的投影特征为：a 三个投影均不反映该平面的真实大小。b 三个投影均没有积聚性。c 三个投影均为小于实形的类似形。,平面上的直线,C,b,a,读上图,Q1,R,S,一、点在平面上的条件：必须经过平面上的任意一条直线。（取点先取线）,例 已知三角ABC上K点的水平投影,试求其正面投影。,举例,38 平面上的点和直线,二、直线在平面上的条件（1）过平面上的两个 已知点；（取线先取点）,38 平面上的点和直线,（2）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任一已知直线。,举例,例（1）已知三角形ABC 的两面投影及该平面上的直线MN的正面投影,求作MN的水平投影。,E,F,e,f,续上例,（2）试在三角形ABC上任作一条直线。,e,f,n,a,b,c,O,X,b,c,a,m,n,投影面上的平行线,三、属于特殊位置平面的点和直线,1、取属于投影面垂直面的点和直线,2、过一般位置直线总可作投影面的垂直面,（1）几何元素表示法,（2）迹线表示法,3、过特殊位置直线作平面,（1）过正垂线作平面,（2）过特殊位置直线作平面,1 取属于投影面垂直面的点和直线,2过一般位置直线总可作投影面的垂直面,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,(1)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法),m,n,(2)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法),b,a,SV,QW,PH,(1)过正垂线作平面(迹线表示法),PV,SV,QV,RV,（a）给题,（c）作侧垂面,（b）作正平面,（d）作正垂面（有无穷多个）,(2)过正平线作平面,PH,SH,g,g,（a）给题,（c）作正垂面,（b）作正平面,（d）作一般位置平面（有无穷多个）,四、属于平面的投影面平行线,属于平面的水平线和正平线,例题1,例题2,属于平面的水平线和正平线,PV,PH,例题1 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,例题2 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,五、属于平面的最大斜度线,1平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题1 例题2 例题3 例题4,（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF,AB平行于 H，EF垂直于 AB,（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD,AB平行于V，CD垂直于 AB,（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN,AB 平行于W，MN垂直于AB,例题1 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。,b,例题2 求 ABC平面与水平投影面的夹角。,be,BE,例题3 过正平线作平面与水平投影面成 60。,ab,AB,例题4 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。,给题,k,b,例5：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,