《通项公式的求法》PPT课件.ppt
数列通项公式的求法,数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系,注：有的数列没有通项公式，如：3，e，6；有的数列有多个通项公式,如：,下面谈一谈数列通项公式的常用求法：,一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,解：变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：,例1：数列9，99，999，9999，,练习.求数列3，5，9，17，33，通项公式,解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，通项公式为：,可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。,注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（便不同）,（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由 an+1=an+f(n)得：当n1时，有 an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1).,一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。,二.叠加法,(也称累加法）,即 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时,就可用累加法进行消元,例2，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式an,解：,两边相加得：,练习:已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。,解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)a3-a2=22-2 a2-a1=21-1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+22+21)-(n-1)+(n-2)+2+1=1+(2n-2)-n(n-1)/2=2n-n(n-1)/2 1,当n=1时，a1=2-0-1=1,故，an=2n _n(n-1)/2-1,已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。,备 注：,（1）当f(n)为常数,即：（其中q是不为0的数）,此时,数列为等比数列，an=a1qn-1.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由 得n1 时，,三.叠乘法,对于型如：an+1=f(n)an 类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。,(也称累乘法、累积法）,当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用累积法进行消元.,本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.,练习、已知数列 中，求通项公式。,解：由已知，得：把1，2，n分别代入上式得：，,把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：,四、Sn法已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：,注意：要先分n=1和n1 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。,例4已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1）（2）,解：（1），当 时 由于 也适合于此等式,（2），当 时 由于 不适合于此等式,（1）若c=1时，数列an为等差数列;（2）若d=0时，数列an为等比数列;（3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法 设an+1+m=c(an+m),得an+1=c an+(c-1)m,与题设an+1=c an+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，,五.辅助数列法,这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。,（构造法或待定系数法）,.,方法四：归纳、猜想、证明.先计算出a1,a2,a3;再猜想出通项an;最后用数学归纳法证明.,方法三：迭代法 由 递推式,直接迭代得,例5.已知数列an中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3）所以an+3是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）2n-1故an=62n-1-3,解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故an-an-1是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1),六、待定系数法：,用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则，或是（b、为常数），若数列 为 等比数列，则，或。,例6已知数列 的前n项和为，若 为等差数列，求p与。,解：为等差数列,例.已知数列an中，a1=1,an+1-3an+1an-an=0,求数列an的通项公式.,再见,
