《被积函数有界》PPT课件.ppt

第四节 反常积分,一、无穷限的反常积分,二、无界函数的反常积分,常义积分,积分限有限,被积函数有界,解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到两种反常积分(也称广义积分).,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,例1.计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.讨论反常积分,解:当 p=1 时有,当 p 1 时有,的敛散性.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,例3.计算反常积分,解:,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,设F(x)是f(x)的原函数,所以点a为被积函数的瑕点,解,例4,解,例5,例6.证明反常积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,作业：p-260习题5-4 1(4),(5),(6),(9),(10);2,