用正交变换化二次型为标准型.ppt
第4节 用正交变换化二次型为标准形,三、利用正交变换化二次型为标准形,下页,一、正交矩阵与正交变换,二、实对称矩阵的性质,定义1 设a=(a1,a2,an)T与b=(b1,b2,bn)T是两个n维向量，则实数,称为向量a和b的内积，记为(a,b).或aTb.,内积的定义(复习),例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a和b 的内积为,(a,b),=(-1)2+10+0(-1)+23,=4.,下页,内积的性质(复习)设a，b，g 都为 n维向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.,下页,向量的长度(复习),定义2 对于向量a=(a1,a2,an)T，其长度(或模)为,例如，向量a=(-3,4)T的长度为,定义3 长度为1的向量称为单位向量.,向量的单位化（标准化）(复习),若a 为非零向量，则,为单位向量，称此过程为向量的标准化.,正交向量组(复习),下页,定义4 设向量a，b都为n维为向量，若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直).,定义5 如果m个非零向量组 a1，a2，am 两两正交，即(ai,aj)=0(ij),则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为标准正交向量组.即,证明:(反证)设a1，a2，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，am线性表示，即有一组数k2，km，使 a1k2a2+kmam，于是(a1,a1)=(a1,k2a2+kmam)=(a1,k2a2)+(a1,kmam)=k2(a1,a2)+km(a1,am)=0这与(a1,a1)0矛盾，所以a1，a2，am线性无关.,定理1 正交向量组是线性无关的向量组.,下页,2.8 向量组的正交化标准化,定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,am，令,则向量组b1,b2,bm是正交向量组.,下页,施密特正交化方法,另外：很明显，向量组a1,a2,am可由向量组b1,b2,bm线性表示.,下页,由此可知，若向量组a1,a2,am为AX=o的一个基础解系，则向量组b1,b2,bm也为AX=o的一个基础解系.,向量组b1,b2,bm也可由向量组a1,a2,am线性表示，因为：,例1已知向量组a1=(1,1,1,1)T,a2=(3,3,-1,-1)T,a3=(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化.,解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令,b1=a1=(1,1,1,1)T,=(3,3,-1,-1)T,=(2,2,-2,-2)T,=(-1,1,-1,1)T,(1,1,1,1)T,此时 b1,b2,b3 为正交向量组.,下页,(2)再将正交化后的向量组标准化，即令,此时 1,2,3 即为所求标准正交向量组.,说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.,下页,例如，单位矩阵E为正交矩阵.,定义1 如果n阶实矩阵A满足 ATA=E 或 AATE，则称A为正交矩阵.,下页,再如，矩阵,也为正交矩阵.,正交矩阵的概念,一、正交矩阵与正交变换,正交矩阵具有如下性质：1A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT；2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；4.正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1；5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.（证明见下页）,下页,正交矩阵的性质,性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.,证明：设A=(a1，a2，an)，其中a1，a2，an为A的列向量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，anT，于是,显然，若A为正交矩阵，则a1，a2，an为标准正交向量组；若a1，a2，an为标准正交向量组，则A为正交矩阵.,A的行向量组的证明类似，略.,下页,定义2 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换,性质1 正交变换是可逆线性变换；,性质2 正交变换不改变向量的内积.,下页,XPY,为正交变换.,正交变换的概念,正交变换的性质,证明：因为,一、正交矩阵与正交变换,下页,那么，这个P 存在吗？,若A有n个线性无关的特征向量x1,x2,xn，令 Q=(x1,x2,xn),则有 Q-1AQ=L；,将x1,x2,xn正交化标准化为h1,h2,hn，令 P=(h1,h2,hn),仍有P-1AP=L(正交必无关),即有 P TAP=L(因为PT=P-1).,问题：,（1）n元二次型的矩阵（即实对称矩阵）A是否存在n个实特征值?,（2）A的特征值是否对应n个标准正交的特征向量?,分析：,那么，这个P 存在吗？,下页,二、实对称矩阵的性质,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ti 重特征值li 对应ti 个线性无关的特征向量.,下页,定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P 使,其中,为A的n个特征值，,正交矩阵P 的n个列向量,是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.,三、用正交变换化二次型为标准形,（要求：熟练掌握！）,(1)写出二次型的矩阵形式；(2)求出A的全部特征值l1,l2,ln；(3)对每一个特征值li,解方程(li E-A)X=o,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 XPY；(5)所求二次型的标准形为,下页,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,解:二次型的 f 系数矩阵为,矩阵A的特征方程为,解得 l1=-2,l2=l3=7,下页,对于l1=-2，解方程组(-2E-A)X=o,得基础解系,将其正交化得,将其单位化得,将其单位化得,得基础解系,下页,解得 l1=-2,l2=l3=7,对于l2=l3=7，解方程组(7E-A)X=o,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,令,则通过正交变换,下页,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,将二次型 f 化为标准形,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,变换矩阵P,解：f 的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为,由已知条件得,即 4(9-a2)=32，解得 a=1,a=-1(舍去).,由A相似于对角阵，得A的 特征值为 l1=2，l2=l3=4,对于l1=2，解方程组(2E-A)X=o,得基础解系,下页,故A相似于对角阵，所以有 A,求a及正交,把x1单位化，得对应于l1=2的单位特征向量,对于l2=l3=4，解方程组(4E-A)X=o,（注意求基础解系的过程）,4E-A,下页,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,变换矩阵P,求a及正交,4E-A,(4E-A)Xo 的一般解为 x2=0 x1+x3,其基础解系为,下页,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,变换矩阵P,求a及正交,所求的正交矩阵为,下页,(4E-A)Xo 的一般解为 x2=0 x1+x3,其基础解系为,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,变换矩阵P,求a及正交,将x2,x3正交化标准化得,例3.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a,b的值及正交,变换矩阵P,由A相似于对角阵,得A的 特征值为 l1=0,l2=1,l3=4,对于l1=0,解方程组(0E-A)X=o,得基础解系,下页,由已知条件得,故A相似于对角阵，所以 A Tr(A)=Tr(),解得,即,解：f 的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为,把x1单位化，得对应于l1=0的单位特征向量,类似可得对应于l2=的单位特征向量为,对应于l3=的单位特征向量为,所求的正交矩阵为,下页,例3.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a,b的值及正交,变换矩阵P,
