《线空间与线变换》PPT课件.ppt

第五章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,线性空间也是线性代数的中心内容之一,本章介绍线性空间的概念及其简单性质,讨论线性空间的基和维数的概念,介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.,一.数域,(1)0,1K;,定义5.1 设K是一个数集,如果,(2)a,bK,都有a+bK,a-bK,abK,且当b0时,a/bK,那么称K是一个数域.,可见,有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域.,数集,也是数域.可见,有无穷多个数域.但任意数域都包含于有理数域.,对几何空间中的向量,实数域上的n维向量,实数域上的矩阵等,它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算,而且满足相同的运算规律,这就是线性空间.,二.线性空间的定义和例子,定义5.2 设V是一个非空集合,K是一个数域,如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算,且满足,(1)+=+(加法交换律);,(2)(+)+=+(+)(加法结合律);,(3)V中有零元素0,使V有+0=;,(4)V,-V,使+(-)=0,称-为的负元素;,(5)k(+)=k+k,V,kK;,(6)(k+l)=k+l,V,k,lK;,(7)(kl)=k(l),V,k,lK;,(8)1=,V,1K;,则称V为数域K上的一个线性空间.记为VK,或V.,线性空间也称为向量空间,其元素都称为向量.,例如:,数域K上的所有n维向量组成的集合Kn,对向量的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.,数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn,对矩阵的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.,实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U,对解向量的加法和乘数两种运算,构成实数域R上的一个线性空间.,数域K上的所有次数小于n的多项式的集合Kxn,对多项式的加法和乘数两种运算,构成K上的一个线性空间.,线性空间具有下列简单性质:,1.令向量是唯一的.,01=01+02=02,2.每个向量的负向量是唯一的.,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,3.0=0,k0=0,V,kK,0+=0+1=(0+1)=,由1.得0=0.,4.若k=0,则,k=0或=0.,=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0,三.子空间,定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集.如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间,则称U是V的子空间.,按定义可见,集合0是V的子空间,称之为零子空间,V也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间,其它的称为非平凡子空间.,U,kK,都有+U,kU,定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集.则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的.即,例如,n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间.,设1,2,r 是线性空间VK中的一组向量,则,Kxn是Kx的子空间.,Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.,L(1,2,r)=k11+k22+krr|k1,k2,krK,是VK的子空间.称为由1,2,r生成的子空间.,2 基 维数 坐标,齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示.这是线性空间的重要性质.,一.基 维数 坐标,定义5.4 在线性空间V中,如果有n个向量1,2,n线性无关,而且V中任意向量都可由它们线性表示,则称 1,2,n为V的一组基,n称为V的维数,V称为n维线性空间.,仅含零向量的线性空间维数是零,如果V中有任意多个线性无关的向量,称其为无限维线性空间.如Kx.在线性代数中,只讨论有限维线性空间.,可见,如果将线性空间V看成一向量组,所谓基就是V的一个极大线性无关组,所谓维数就是V的秩.,Kxn是n维线性空间,1,x,x2,xn-1 是它的一组基.,例如,齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间U的基,如果n元方程组的系数矩阵的秩为r,则U是n-r维线性空间.,Rmn是mn维线性空间,如R23的一组基为:,向量组1,2,r的一个极大线性无关组,就是线性空间L(1,2,r)的一组基,其维数就是向量组的秩.,定理5.2 设V是n维线性空间,如果V中向量组1,2,m线性无关,则在V中必有n-m个向量m+1,m+2,n,使得1,2,m,m+1,m+2,n是V的一组基.,定义5.5 设1,2,n是线性空间VK的一组基,如果VK可以表示为:,由定理可见,含有非零向量的线性空间一定存在基.基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.,=x11+x22+xnn,则称(x1,x2,xn)T为向量在基1,2,n下的坐标.,可见,坐标是由向量及基的选取唯一确定的.,例1 试求线性空间R3中向量=(1,2,3)T在基:,=x11+x22+x33,解 设所求坐标为(x1,x2,xn)T,则,即,解之得,x1=2,x2=-1/2,x3=-1/2.,所以,向量在基1,2,3下的坐标是(2,-1/2,-1/2)T.,1=(1,1,1)T,2=(1,1,-1)T,3=(1,-1,-1)T,下的坐标.,也可以写成:,一般地,向量在基1,2,n下的坐标为(x1,x2,xn)T,也可表示为:,二.基变换与坐标变换,线性空间如果有基,显然基不唯一.那么一个向量在不同基下就有不同的坐标,下面就来讨论它们之间的关系.,设1,2,n和1,2,n是线性空间VK的两组基,则,这两个向量组等价.如果,则合起来就有:,简记为,定义5.6 矩阵C称为由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆的.,定理5.3 设1,2,n和1,2,n是线性空间VK的两组基.如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,则x=Cy.其中C是过渡矩阵.,证明 由于,由于向量在一组基下的坐标是唯一的,所以x=Cy.,如例1中,=(1,2,3)T在基1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T,且由基1,2,3 到基1,2,3的过渡矩阵为(1,2,3),所以,=(1,2,3)T在基1,2,3下的坐标为:,(1,2,3)-1(1,2,3)T=(2,-1/2,-1/2)T,作 业,习题A 第98页,1、2、3、6、7、8,练习题,习题B 第100页,1、2、4、5,3 线 性 变 换,线性变换是线性空间上的重要运算,本节介绍线性变换的概念,并讨论线性变换与矩阵之间的关系.,一.定义和例子,定义5.7 设是线性空间VK到VK的一个映射,且满足,VK,kK都有,则称为VK的一个线性变换.,(+)=()+(),(k)=k(),例如,ARnn,定义(A)=AT,则为Rnn的一个线性变换.,取0VK,VK,定义()=0,则为VK的一个线性变换,称为零变换.,(2)()=();,线性变换具有下列简单性质:,(1)(0)=0;,取ARnn,Rn,定义()=A,则为Rn的一个线性变换.,VK,定义()=,则为VK的一个线性变换,称为恒等变换或单位变换.,(3)(x11+x22+xmm),=x1(1)+x2(2)+xm(m),二.线性变换的矩阵,设为线性空间VK的一个线性变换,1,2,n是VK的一组基,VK,如果=x11+x22+xnn,则,即,()是由(1),(2),(n)唯一确定的.,由于(1),(2),(n)VK,故可由1,2,n线性表示,记,()=x1(1)+x2(2)+xn(n),(1)=a111+a212+an1n,(2)=a121+a222+an2n,(n)=a1n1+a2n2+annn,例如,其中,(1,2,n)=(1,2,n)A,矩阵A的第j列为向量(j)在基1,2,n下的坐标.,矩阵A称为线性变换在基1,2,n下的矩阵.,例如,线性空间Kxn中,求微商的变换在基1,x,x2,xn-1下的矩阵为:,零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.,单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.,线性空间Kxn中,求微商的变换在基1,x,x2/2,xn-1/(n-1)下的矩阵为:,AR22,定义(A)=AT,则在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为:,定理5.4 设线性变换在基1,2,n下的矩阵是A,向量在基1,2,n下的坐标为x=(x1,x2,xn)T,则()在这组基下的坐标是Ax.,证明 因为=x11+x22+xnn,所以,=(1,2,n)TAx,()=x1(1)+x2(2)+xn(n),=(1),(2),(n)x,所以,()在基1,2,n下的坐标是Ax.,定理5.5 设是线性空间V的线性变换,如果在两组基1,2,n和1,2,n下的矩阵分别为A和B,且由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵为C,则B=C-1AC.,证明 由于(1,2,n)=(1,2,n)A,(1,2,n)=(1,2,n)C,于是,(1,2,n)B=(1,2,n)=(1,2,n)C,=(1,2,n)C=(1,2,n)AC,=(1,2,n)C-1AC,由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的,故B=C-1AC.,例2 设线性空间R3的线性变换在基1,2,3下的矩阵为,解 基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为,求在基1=1,2=-31-22+23,3=1+22+23下的矩阵.,先求C-1,由于,所以,在基1,2,3下的矩阵为:,4 欧几里得空间,欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积.,一.定义和例子,定义5.8 设V是实数域R上的一个线性空间,在V上定义一个二元实函数,满足:,V,kR,有,则称二元实函数,是V上的内积,此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间.,(1)对称性:,=,(2)线性性:+,=,+,k,=k,(3)正定性:,0,且仅当=0时,=0.,例如:,在Rn中,=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+2a2b2+nanbn,则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间.,在Rxn中,f(x),g(x)Rxn,定义内积为:,在Rn中,=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+a2b2+anbn,则Rn成为Euclid空间.,则Rxn也成为Euclid空间.,利用内积的概念,可以定义Euclid空间中向量的长度,向量的夹角等概念.,向量的长度具体下列性质:,定义5.9 设V是Euclid空间,V,非负实数,1/2称为向量的长度(或范数,或模),记为|(或).,还有下面的Cauchy-Schwarz不等式:,(1)非负性:|0,且仅当=0时,|=0;,(2)齐次性:|k|=|k|;,(3)三角不等式:|+|+|.,|,|.,若|=1,称为单位向量.若0,则(1/|)是单位向量.,定义5.10 在Euclid空间中,两个非零向量,的夹角记为,规定为:,定义5.12 在Euclid空间中,一组两两正交的非零向量称为正交向量组,由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.,可见,=/2当且仅当,=0.,定义5.11 如果,=0,则称与正交.,可见,1,2,n为规范正交组i,j=ij.,定理5.6 正交向量组必线性无关.,在线性空间R3中,取标准内积,=x1y1+x2y2+x3y3,使R3成为一个 Euclid空间.,解之得一个解为,=(-2,1,1)T,将单位化得:,解 先求与1,2都正交的向量,记=(x1,x2,x3)T,则,1,=x1+x2+x3=0,2,=x2-x3=0,例3 在Euclid空间R3中,求一个单位向量,使其与两个向量1=(1,1,1)T,2=(0,1,-1)T 都正交.,二.规范正交基,定理5.7 在Euclid空间中,如果向量组1,2,m线性无关,则有规范正交向量组1,2,m与之等价.,证明 先正交化,取,1=1,再将1,2,m单位化,取,则1,2,m就是所求规范正交向量组.,上述由线性无关向量组1,2,m,得到正交向量组1,2,m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.,定义5.13 在n维Euclid空间V中,含有n个向量的正交向量组称为V的正交基.由单位向量构成的正交基称为规范正交基.,例4 在线性空间Rx3中,定义内积,试求Rx3的一组规范正交基.,解 取Rx3的一组基,1=1,2=x,3=x2,将其正交化得:,1=1=1,1,2,m就是Rx3的一组规范正交基.,再将1,2,3单位化,取,例5 求L(1,2,3,4)的一组规范正交基.其中,解 由于,可见,1,2,4是L(1,2,3,4)的一组基,正交化,1=1,再单位化得L(1,2,3,4)的一组规范正交基为:,定义5.14 若实方阵A满足AAT=E,则称A是正交矩阵.,若记,则,由于,可见,AAT=E的充分必要条件是:,所以说,n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是Euclid空间Rn的一组规范正交基.,注意:ijT=ai1aj1+ai2aj2+ainajn=i,j,例如,下列矩阵都是正交矩阵:,在Euclid空间中,两组规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵.,作 业,习题A 第98页,9、10、12、13、15、16、17、18,练习题,习题B 第100页,6、7、8、9、11、12、13、14、15、16,