《简并微扰理论》PPT课件.ppt

第六章 近似方法,（一）简并微扰理论（二）实例（三）讨论,3 简并微扰理论,假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(0)有 k 个归一化本征函数：|n1,|n 2,.,|n k=,满足本征方程：,于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。,0 级近似波函数肯定应从这k个|n 中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：,共轭方程,（一）简并微扰理论,|n(0)已是正交归一化,系数 c 由 一 次幂方 程定出,左乘 n|得：,得：,上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即,根据这个条件，我们选取 0 级近似波函数|n(0)的最好方法是将其表示成 k 个|n k 的线性组合，因为反正 0 级近似波函数要在|nk(=1,2,.,k)中挑选。,解此久期方程 可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1),=1,2,.,k.因为 En=En(0)+E(1)n 所以，若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除；若En(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,为了确定能量 En 所对应的0级近似波函数，可以把 E(1)n 之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,.,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。,为了能表示出 c 是对应与第 个能量一级修正 En(1)的一组系数，我们在其上加上角标 而改写成 c。这样一来，线性方程组就改写成：,例1.氢原子一级 Stark 效应,（1）Stark 效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,（2）外电场下氢原子 Hamilton 量,取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场 107 伏/米，而 原子内部电场 1011 伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。,（二）实例,（3）H0 的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。,属于该能级的4个简并态是：,（4）求 H 在各态中的矩阵元,由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton 量 H 在以上各态的矩阵元。,我们碰到角积分 需要利用如下公式：,于是:,仅当=1,m=0 时，H 的矩阵元才 不为 0。因此 矩阵元中只有 H12,H21 不等于0。,因为,所以,欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性 要求量子数必须满足如下条件：,（5）能量一级修正,解得 4 个根：,求零级近似波函数,（1）当 时，有；,则与能级 对应的零级近似波函数为：,（2）当时，有，则与能级 对应的零级近似波函数为：,（3）当时，有，而 和 不同时为零，则与能级 对应的零级近似波函数为：,相当于一电偶极矩位于电场中,定性解释：,2氢原子电偶极矩特性,1.当 与 方向相反，即是,3.当 与 相互垂直，即是 或,2.当 与 方向相同，即是,例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H=H0+H，其中,求能级的一级近似和波函数的0级近似。,解：,H0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,解得：E(1)=0,.,记为：E1(1)=-E2(1)=0 E3(1)=+,故能级一级近似：,简并完全消除,(1)求本征能量 由久期方程|H-E(1)I|=0 得：,(2)求解 0 级近似波函数,将E1(1)=代入方程，得：,由归一化条件：,则,将E2(1)=0 代入方程，得：,则,由归一化条件：,测验题,1、非简并微扰论能实际应用的条件是什么？并说明其物理意义。对于连续谱 的情况，收敛性条件是否满足？为什么？此条件能否适用于简并情况？2、从数学的角度，怎么定义一个体系是微扰的还是非微扰的？3、在定态微扰论中，为什么要分为非简并和简并两类问题讨论？试从物理图像和数学适 用条件说明之。4、有人说：“近似计算方法本身应归于数学中，它并不包含在量子力学的物理体 系中，微扰论仅仅是数学上的技巧处理技巧”，你如何理解？5、经典物理中我们有没有用到微扰论？试简单说明之。,作业,讨论氢原子的相对论修正。,