《矢性函数》PPT课件.ppt

矢量分析与场论,第2讲 矢性函数张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院,主要内容,1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性4.矢性函数的导数5.矢性函数的微分6.矢性函数的导数公式 教材：第1章，第1节，第2节,常矢：矢量的模和方向都保持不变。变矢：模和方向或其中之一发生变化。,1.矢性函数的概念,标量函数：标量 随参量 的变化。,矢量函数：矢量 随参量 的变化。,1.矢性函数的概念,矢性函数：设有数性变量 和变矢，如果对于 在某个范围 内的每一个数值，都有一个确定的矢量和它对应，则称 为数性变量 的矢性函数，记作：,并称 为函数 的定义域。,1.矢性函数的概念,矢性函数的坐标函数分量也是 的函数。,2.矢端曲线,自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这两个矢量相等。,矢端曲线：矢量 的终点 随参量 的变化曲线 称为矢性函数 的矢端曲线，也称为矢性函数的图形。,2.矢端曲线,矢量方程：,当定义随 增大的方向为 的走向，则矢端曲线 为有向曲线。,为矢性函数 的矢量方程。,2.矢端曲线,参数方程：,矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。,矢性函数 对应矢端曲线 的参数方程。,2.矢端曲线,例：圆柱螺旋线的参数方程（P3图1-3）：,其矢量方程为：,2.矢端曲线,例：摆线的参数方程（P3图1-4）：,其矢量方程为：,3.矢性函数的极限和连续性,定义：设矢性函数 在点 的某个领域内有定义（但在 处可以没有定义），为一常矢，若对于任意给定的正数，都存在一个正数，使当 满足 时，有：,成立，则称 为矢性函数 当 的极限，记作：,矢性函数极限与数性函数完全类似。,3.矢性函数的极限和连续性,为数性函数；，为矢性函数，当 均存在极限。,矢性函数极限的运算法则,3.矢性函数的极限和连续性,矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。,3.矢性函数的极限和连续性,连续性定义：若矢性函数 在点 的某个领域内有定义，而且有：,矢性函数 在 处连续的充要条件是：都在 处连续。,则称 在 处连续。,4.矢性函数的导数,矢性函数的增量：,为 的增量，表示为：,4.矢性函数的导数,导数的定义：设矢性函数 在点 的某一领域内有定义，并设 也在这个领域之内，增量的比值为：,在 时，其极限存在，则称此极限为 在 处的导数（简称导矢），表示为：,4.矢性函数的导数,4.矢性函数的导数,例1：圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）：,求导矢,解：,4.矢性函数的导数,例2：设,试证明：,证：,4.矢性函数的导数,例2：设,试证明,证：,4.矢性函数的导数,例2：设,试证明,证：,4.矢性函数的导数,为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，因此也叫做圆函数。,亦为一单位矢量，其矢端曲线也为一单位圆。,4.矢性函数的导数,是在 的割线 上的一个矢量。,时，其极限为 点的切线位置。,导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，并始终指向对应 增大的方向。,5.矢性函数的微分,微分的概念：设有矢性函数，把,称为 在 处的微分。,微分与导矢的几何意义相同，为矢量矢端曲线的切线。，与导矢的方向一致；，与导矢的方向相反。,5.矢性函数的微分,微分的计算表达式：,或：,矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。,5.矢性函数的微分,解：,5.矢性函数的微分,的几何意义：,矢性函数,矢性函数,微分,微分的模,5.矢性函数的微分,的几何意义：,弧长微分,即：,矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧微分的绝对值。,5.矢性函数的微分,的几何意义：,得到：,矢性函数对（其矢端曲线的）弧长 的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向 增大的方向。用 表示。,5.矢性函数的微分,矢端切线方向的方向余弦,5.矢性函数的微分,例4：试证明,证：,5.矢性函数的微分,可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式,例4：试证明,5.矢性函数的微分,解：,例5：求圆柱螺旋线 的切向单位矢量。,6.矢性函数的导数公式,设矢性函数 及数性函数 在 的某个范围内可导，则以下公式成立：,（2）,（4）,6.矢性函数的导数公式,（5）,（）,（6）,1.矢性函数导数公式的应用,证明（5）：,证：,6.矢性函数的导数公式,证明（5）：,证：令 两端取极限，得到：,6.矢性函数的导数公式,例：设 三阶可导，证明（习题1第5题）,证：,Homework 1,作业P19 习题1：1，2，3，4,