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曲线的凹凸与拐点,曲线的凹凸,曲线的拐点,一.函数的凹凸性 前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降的规律，但这还不能完全反映它的变化规律如图所示，的图形在区间 内虽然一直上升，但却有着不同的弯曲状况.,定义3.2 设函数 在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的.,如左图所示的图形在 是凹的.,如右图所示的图形在 内是凸的,由前面两图可以看出，如果曲线是凹的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增大，即函数 是单调增加的如果曲线是凸的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐减小，即函数 是单调递减的而 的,单调性可由 的符号决定，故曲线的凹凸性与的 符号有关 定理3.8 设函数 在区间内二阶导数 存在(1)如果在 内，那么曲线 在 内是凹的；,(2)如果在 内，那么曲线 在 内是凸的,例1 判断曲线 的凹凸性解 函数 的定义域为，在 上，所以曲线 在 内是凹的如图.,例2 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为,;当 时，故曲 线在 内是凸的.当 时，故曲线在 内是凹的.点 是曲线由凸变凹的分界点如图所示.,返回,二.曲线的拐点,定义3.3 连续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点,由拐点的定义可知，拐点是曲线凹凸的分界 点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在 拐点处 或 不存在因而我们可以利 用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点,判定曲线拐点的步骤为:,(1)确定函数 的定义域；(2)求出，解出使 和 不 存在的所有点；(3)对解出的每一个点，考察 在 左右近旁的符号，如果 的符号相反，那么 就是拐点；如果 的符 号相同，那么 就不是拐点,例3 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解(1)所求函数的定义域为；(2)(3)由，解得:(4)列表判断如下,表中的符号“”、“”分别表示曲线是“凹”、“凸”的.由上表可知，曲线在区间 和 是凹的，在区间 是凸的 曲线拐点为,和,例4 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解(1)所求函数的定义域为；(2)，；(3)令，解得；(4)列表判断如下,例5 判断曲线 是否有拐点?解(1)函数的定义域为；(2)；(3)令，解得；(4)显然 时,.所以曲线在定义 域内全部是凹的;因此曲线没有拐点,