《环离散数学》PPT课件.ppt

6.6 环,6.6.1 环 的 定 义 6.6.2 环 的 性 质,6.6.1 环 的 定 义,设R是一个非空集合,其中有加“+”、乘“”两种二元代数运算，称（R,+,）为一个环，如果1)a+b=b+a，2)a+（b+c）=（a+b）+c，3)R中有一个元素0，适合a+0=a，4)对于R中任意a,有-a,适合a+（-a）=0，5)a（b c）=（a b）c，6)a（b+c）=(a b)+(a c)，（a+b）c=(a c)+(b c)。,环的例,所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做n阶矩阵环。域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多项式环。整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、复数域。,性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+bn）=(ab1)+(abn)，（a1+am）b=(a1b)+(amb)，,6.6.2 环 的 性 质,环 的 性 质,性质2 a（c-b）=(ac)-(ab)，（c-b）a=(ca)-(ba)。证明：由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，(c-b)a=(ca)-(ba)。性质3 a0=0，0a=0。证明：由性质2，令b=c=0，得a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（0-0）a=(0a)-(0a)=0，即,a0=0，0a=0。,性质4 a（-b）=-（ab），（-a）b=-（ab），（-a）（-b）=ab。证明：由性质2，令c=0，即得a（-b）=-（ab），（-a）b=-（ab）。因此，（-a）（-b）=-(-a)b)=-（-（ab）=ab。性质5 对任意整数m，都有a（mb）=（ma）b=m（ab）。,环 的 性 质,性质6 am+n=aman，（am）n=amn。性质7 在交换环中，有第三指数律：（ab）n=anbn。性质8 在交换环中二项式定理成立：(a+b)n=an+nan-1b+an-2b2+bn。用数学归纳法证明.,环 的 性 质,如果环R不只有一个元素而且有一个元素1适合对任意a R，1a=a1=a 则称R为含壹环。例.整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。,含壹环,性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。证明：若1、1为R的两个壹，则1=11=1。性质10 设环R有1，则10。证明：取aR,且a0,则a0=0,而a1=a,故10。性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。证明：令R+=a+m|aR，mZ。规定：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。则R+为环，其壹为0+1。,含壹环性质,定义.若R是环,S是R的非空子集,若S在R的加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。结论：R本身以及0是R的两个平凡子环。定理6.6.1 环R的子集S作成子环必要而且只要，（1）S非空；（2）若aS，bS，则a-bS;（3）若aS，bS，则abS。,子环,对于环来说，若大环有壹，子环未必有壹.如，整数环含1，但其子环偶数环不含1。即使子环有壹，其壹未必与大环的壹一致.见教材224页矩阵环的例子。,子环与大环的关系,定义.若R是环，a，b R，如果a0，b0，但ab=0，则称a，b为零因子。如果R没有这样的元素，则说R无零因子。无零因子的环称为消去环。例.整数环是消去环，矩阵环不是消去环，有零因子。比如，,消去环,性质12 环R是消去环 iff R中消去律成立。证明：必要性。如果a0,且ab=ac,那么ab-ac=0,即 a（b-c）=0。因环R中无零因子,而a0,故必有 b-c=0，即b=c，因此，左消去律成立，同理可证右消去律也成立。充分性。设消去律成立，即由a0,ab=ac可推出b=c。若ab=0,而a0,则ab=a0,因而由消去律可得 b=0。故R无零因子,R是消去环。,消去环的性质,性质13 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。证明：(1)若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。(2)否则，R中存在非零元素a，a的周期不是0，设为m，即ma=0。任取R中非零元b，,消去环的性质,则，a(mb)=(ma)b=0b=0，又由a0，且R无零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，设为n，则n|m。另一方面，(na)b=a(nb)=a0=0，又由b0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故m|n。因此，m=n。由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期都与a的周期相同。,消去环的性质,性质14 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。证明：设aR，a0，且a的周期为n，故 na=0。(1)若n=0，则得证。(2)否则，只需证n是质数。,消去环的性质,用反证法。设n不是质数，则n=n1n2，且n11，n21。故1n1 n，1n2n。显然，n1a，n2a R，由a的周期为n知，n1 a0，n2a0。而（n1 a）（n2a）=（n1 n2）（a a）=（na）a=0 a=0，故n1 a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。因此，原假设不对，n是质数。,消去环的性质,整区 有壹无零因子的交换环。理解整区定义 是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环。想证明(R,+,）是整区，需要证明：（R,+）是Abel群;（R,）是半群，有壹，且交换律、消去律成立（无零因子）;对+有分配律.,整区,例.整数环、有理数环、实数环、复数环都是 整区。例.实数域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成的n阶矩阵环不是整区：不是交换环，不是消去环。例.整数模4的所有剩余类集合Z4在剩余类加法与乘法下作成一个有壹的交换环，但不是整区：不是消去环。,体,体 设R为环，如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，则称环R为体。理解体的定义：是含壹环（至少两个元素）、消去环，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交换环，因此未必是整区。想证明(R,+,）是体，需要证明：（R,+）是Abel群;（R*,）是群;对+有左右分配律。例.整数环不是体。有理数环、实数环、复数环都是体。可见，整区未必是体。,结论：假定R是无零因子的有限环，且不只有一个元素，则R必是一个体。证明：只需证明环R中所有非零元做成乘法群。由R中不只有一个元素，知R*非空。任取a,bR*，即a0，b0，由R无零因子，知ab0，即abR*。由环R对乘法适合结合律知,R*对乘法亦适合结合律。由R无零因子知，R*中消去律成立。由R有限，知R*有限。所以环R中所有非零元做成乘法群，因而是体。,域,域 交换体理解域的定义：是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环想证明(R,+,）是域，需要证明：（R,+）是Abel群；（R*,）是Abel群；对+有分配律。在域中每一个非零元素都具有两个与之相联系的周期，一个是在加法群中的加法周期，一个是在乘法群中的乘法周期。,例.有理数域、实数域、复数域都是域。其中每一非零元素的加法周期是0（无穷），1的乘法周期是1，-1的乘法周期是2，此外，其它非零元的乘法周期为0。在域中，ab-1可以写成。结论1 域中所有非零元素都有相同的加法周期，且或为0，或为质数。结论2 域是整区。,结论3 有限整区是域。证法一：因为有限整区是无零因子的有限环，且不只有一个元素，所以有限整区是体。再由整区是交换环，知，有限整区是交换体，因此是域。证法二：只需证明整区R中非零元做成乘法群。由R是整区，知R*非空：1R*。任取a,bR*，即a0，b0，由R无零因子，知ab0，即abR*。,由环R对乘法适合结合律知,R*对乘法亦适合结合律。R*有乘法单位元1。任取aR*，由R无零因子知，R*中消去律成立，再由R*有限，知aR*=R*。由1R*，知1aR*，即有ak R*，使得aak=1，即每个非零元在乘法下有逆。所以有限整区中非零元做成乘法群，因而是体，再由整区是交换环，知，有限整区是域。,有限域的例,设R=0,1,2,3,4，定义R上的运算如下：ab=a+b(mod 5)ab=ab(mod 5)则可以证明（R，）是域。证明作为练习1，2，3，4的加法周期是？1，2，3，4的乘法周期分别是？,例.设Zp是模p的剩余类环，则Zp是域 iff p是质数。证明：必要性。用反证法。假设p不是质数，则p=a b，0ap,0bp，于是ab=ab=p=0但 a 0，b 0，因此，a，b 为Zp的零因子，与Zp是域矛盾。充分性。显然，Zp是交换环且有壹：1。故只需证Zp不含零因子，则Zp是有限整区，因此就是域。,用反证法。假设Zp含零因子，即其中存在元素a 0，b 0，但ab=0，由a 0，知 p不整除 a；由b 0，知 p不整除 b；再由p是质数，知p不整除ab。而由ab=ab=0，知，p|ab，产生矛盾，因此，Zp不含零因子。还可以用域的定义来证。Zp中非零元的加法周期是？,四元数 取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，d为系数而作形式的线性组合 a+bi+cj+dk。四元数间运算的规定：（1）加法运算(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k。,四元数体-是体但不是域的例,（2）乘法运算：先规定i，j，k之间的乘法：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j；ji=-k,ik=-j,kj=-i。四元数相乘-按组合律展开再化去i，j，k的乘积而且并项（a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k）=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+b1a2i-b1b2+b1c2k-b1d2j+c1a2j-c1b2k-c1c2+c1d2i+d1a2k+d1b2j-d1c2i-d1d2=a1a2-b1b2-c1c2-d1d2+（a1b2+b1a2+c1d2-d1c2）i+（a1c2+c1a2+d1b2-b1d2）j+（a1d2+d1a2+b1c2-c1b2）k,在上面加法和乘法之下，所有四元数作成一个环：加法Abel群，乘法半群，乘对加有分配律。有壹：1+0i+0j+0k任意非0四元数有逆。设四元数u=a+bi+cj+dk，定义其共轭四元数为=a bi cj-dk则u=a2+b2+c2+d2。若u0（即若u0+0i+0j+0k），则u0，u-1=因此，此环是体，但不是域：ij=-ji ji。,子体、子域,定义.体K的一个子环，若仍为体，则叫子体；若又为域，则叫K的子域。同样，对于域F，也可以有F的子环和子域。例.整数环是实数域的子环，实数域是复数域的子域。,