《环定义与性质》PPT课件.ppt

2023/8/4 22:28,近世代数,第三章 环与域 1 环的定义与性质,2023/8/4 22:28,一、环的定义,定义1 设,是一个非空集合.,上定义了两个代数运算“+”与“.”,关于加法构成一个交换群（加群）；,(3)乘法对加法两个分配律成立：,则称,为环,或简称,为环.,(分别称为加法与乘法),并且满足,如果在,(1),(2)乘法结合律成立：,2023/8/4 22:28,说明：,是一个交换群.,其加法单位元常用0表示,称为环,的零元.,设,的加法逆元称为,的负元,.,的零元与,的每个元素的负元都是,记作,唯一的.,2023/8/4 22:28,定义2 如果环,的乘法还满足交换律,为交换环.,中存在元素,使得,则称,为有单位元的环,并称,为,的,定义3 如果环,单位元.,则称,所有R的逆元关于乘法作成群，称为R的单位群。,2023/8/4 22:28,定理1,设,是一个环,如果,有单位元,则,单位元是唯一的.,的单位元常记作,.,a有逆元，则a的逆元也是唯一的。,记作：,2023/8/4 22:28,例1,2023/8/4 22:28,例 2,整数集关于数的加法与乘法,构成有单位元的交换环.,这个环的零元是数0,单位元是数1.这个环称为整数环.,同样,有理数集,实数集,复数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环,2023/8/4 22:28,例3,2023/8/4 22:28,例5,2023/8/4 22:28,2023/8/4 22:28,例6,2023/8/4 22:28,例7,2023/8/4 22:28,二、环的性质,性质1.规定减法:,，则有移项法则:,2023/8/4 22:28,性质2.规定倍数:设,规定,则有倍数法则:对任意,2023/8/4 22:28,性质3.设,为环,则对,有,2023/8/4 22:28,性质4.规定方幂:设,规定,则有下列指数法则:,注意:如果环,不是交换环,则等式,一般不成立.,2023/8/4 22:28,性质5.广义分配律:设,则,2023/8/4 22:28,三、子环,定义4 若环,的非空子集,关于环,的加法与乘法也做成环，称,为,的子环,定理2,，记作,例,2023/8/4 22:28,例8,2023/8/4 22:28,例9,2023/8/4 22:28,例10,2023/8/4 22:28,2023/8/4 22:28,例11,2023/8/4 22:28,例12,2023/8/4 22:28,例,数域,上的全体,阶方阵的集合,关于矩阵的加法与乘法,上的,它的零元为零矩阵,单位元为单位矩阵.,构成环.,这个环称为数域,阶全阵环.,当,时,这是一个非交换环,2023/8/4 22:28,四、特殊类型的环,1.无零因子环,为环,为,的非零元素.,，使,，则称,的一个左零因子；,，使,，则称,的一个右零因子.,定义 5 设,如果存在非零元,为,如果存在非零元,为,左零因子与右零因子统称为零因子.,不是左零因子也不是右零因子的元素，,叫做正则元.,2023/8/4 22:28,例,设,都是,的非零元,而,所以,分别为,的左右零因子.,2023/8/4 22:28,例,2023/8/4 22:28,例,2023/8/4 22:28,定义 6,一个没有零因子的环称为无零因子环.,定理 3 无零因子环,中,关于乘法,如果,或,则,两个消去律成立.即设,2023/8/4 22:28,2.整环,定义 7 一个交换的,有单位元,且,的无零因子环,称为整环.,例 整数环,高斯整环,而偶数环为,都是整环,无零因子环.,2023/8/4 22:28,例,2023/8/4 22:28,2023/8/4 22:28,3.除环和域,定义 8 设,为有单位元,的环,如果存在,使得,则称,为,的可逆元,并称,为,的逆元.,可逆,则,的逆元唯一,且,的逆元也可逆.可逆元,的唯一的,且,若,逆元记作,2023/8/4 22:28,例,的可逆元仅有1,-1;,由于没有单位元,所以它没有可逆元.,可逆当且仅当,例 试求高斯整环,例,解,的可逆元.,2023/8/4 22:28,定义9,设,是有单位元的环,且,.如果,中每个非零元都可逆,则称,为除环.,交换的除环称为域.,例,都是域.,2023/8/4 22:28,例,2023/8/4 22:28,例,2023/8/4 22:28,例,为域.,是有单位元的交换环.,的每个非零元都可逆.,证明,证明 可证,下证,2023/8/4 22:28,域的除法,设,为域,则对任意的,有,，记作,由此可定义域,的除法:设,规定,称,为以,除,的商.,2023/8/4 22:28,且有下列运算法则:,2023/8/4 22:28,2023/8/4 22:28,2023/8/4 22:28,