一章多元正态分布.ppt
2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,1,第一章 多元正态分布,目录 上页 下页 返回 结束,1.1 多元分布的基本概念,1.2 统计距离和马氏距离,1.3 多元正态分布,1.4 均值向量和协方差阵的估计,1.5 常用分布及抽样分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,2,第一章 多元正态分布,一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,3,第一章 多元正态分布,多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元 分布、多元 分布、多元指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,4,1.1多元分布的基本概念,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,1.1.2 分布函数与密度函数,1.1.3 多元变量的独立性,1.1.4 随机向量的数字特征,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,5,1.1.1 随机向量,表示对同一个体观测的 个变量。若观测了 个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个体的 个变量为一个样品，而全体 个样品形成一个样本。,假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测 个指标（即变量），又进行了 次观测得到的，把这 个指标表示为 常用向量,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,6,横看表1-1，记，它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 列的元素 表示对 第个变量 的n次观测数值。下面为表1-1,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,7,因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:,定义1.1 设 为 个随机变量，由它们组成的向量 称为随机向量。,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,若无特别说明，本书所称向量均指列向量,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,8,定义1.2 设 是一随机向量，它的多元分布函数是,式中，并记成。,1.1.2 分布函数与密度函数,描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。,目录 上页 下页 返回 结束,多元分布函数的有关性质此处从略。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,9,1.1.2 分布函数与密度函数,目录 上页 下页 返回 结束,定义1.3：设=,若存在一个非负的函数,使得,对一切 成立，则称（或）有分布密度 并称 为连续型随机向量。,一个 维变量的函数 能作为 中某个随机向量的分布密度，当且仅当,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,10,1.1.3 多元变量的独立性,目录 上页 下页 返回 结束,注意:在上述定义中，和 的维数一般是不同的。,若 有密度，用 分别表示 和 的分布密度，则 和 独立当且仅当(1.5),2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,11,1.1.4 随机向量的数字特征,是一个 维向量，称为均值向量.,目录 上页 下页 返回 结束,当 为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：,1、随机向量 的均值 设 有 个分量。若 存在，定义随机向量 的均值为,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,12,1.1.4 随机向量的数字特征,目录 上页 下页 返回 结束,2、随机向量 自协方差阵,称它为 维随机向量 的协方差阵，简称为 的协方差阵。称 为 的广义方差，它是协差阵的行列式之值。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,13,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,3、随机向量X 和Y 的协差阵,设 分别为 维和 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 矩阵，其元素是，即,当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,14,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,（3）设X为 维随机向量，期望和协方差存在记 则,对于任何随机向量 来说，其协差阵都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,15,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,4、随机向量X 的相关阵 若随机向量 的协差阵存在,且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:,也称为分量 与 之间的（线性）相关系数。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,16,在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,17,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,随机向量数字特征的例子,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,18,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,例1-1,例1-1 焊接技术培训班有10名学生：基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）的成绩如表1-1所示（数据文件MV_焊接成绩.BTW）。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,19,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,例1-1,请注意：样本资料阵在形式上与在MINITAB软件中的工作表是完全一致的，工作表的第i行表示第i个样品，工作表的第j列表示对第j个变量的观测值，变量名称常列在表头,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,20,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本均值向量的计算,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,21,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,22,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算,由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了协方差阵的下三角部分，所以整个样本协方差阵全部写出则应是：如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵而不是三角阵，这个矩阵对角线上的3个数74.6222、70.2222、34.9，分别是基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）三门课成绩的样本方差。样本离差阵等于样本协方差阵乘以n1，所以例1-1样本离差阵就是,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,23,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本相关阵R计算：,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,24,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,样本相关阵R计算：,由于样本相关阵是对称的，对角线上全是1，会话区窗口结果中只显示了扣除对角线后的下三角部分，所以整个样本相关阵全部写出则应是：,如果采用存储功能，则存储的样本相关阵就是方阵而不是三角阵。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,25,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,欧氏距离,马氏距离,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,26,1.2 统计距离和马氏距离,欧氏距离,在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,27,1.2 统计距离和马氏距离,但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单位有关。,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,28,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,例如，横轴 代表重量（以kg为单位），纵轴 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见图1.1，它们的坐标如图1.1所示,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,29,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,这时,显然AB比CD要长。,现在，如果 用mm作单位，单位保持不变，此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则,结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,30,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。因此，采用“统计距离”这个术语，以区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,31,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。,设有两个一维正态总体。若有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由图1-2,图1-2,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,32,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,即A点到 比A点到 要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比较的是A点坐标与 到 值之差的绝对值），但从概率观点来看，A点在 右侧约4 处，A点在 的左侧约3 处，若以标准差的观点来衡量，A点离 比A点离 要“近一些”。显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵的逆矩阵，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,33,1.2 统计距离和马氏距离,马氏距离,设X、Y从均值向量为，协方差阵为的总体G中抽取的两个样品，定义X、Y两点之间的马氏距离为,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,34,1.2 统计距离和马氏距离,设 表示一个点集，表示距离，它 是到 的函数，可以证明,马氏距离符合如下距离的四条基本公理:,（2）当且仅当；,（3）,（4）,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,35,1.3 多元正态分布,多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,36,1.3 多元正态分布,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,37,1.3.1 多元正态分布的定义,|为协差阵的行列式。,目录 上页 下页 返回 结束,定义1.5：若 元随机向量 的概率密度函数为：,则称 遵从 元正态分布，也称X为 元正态变量。记为,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,38,定理1.1将正态分布的参数和赋于了明确的统计意义。有关这个定理的证明可参见文献3。,多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献3。,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.1 多元正态分布的定义,定理1.1：设 则,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,39,1.3.2 多元正态分布的性质,目录 上页 下页 返回 结束,1、如果正态随机向量 的协方差阵是对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。证明参见文献4，p.33。,容易验证，但 显然不是正态分布。,2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。例如，设 有分布密度,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,40,1.3.2 多元正态分布的性质,目录 上页 下页 返回 结束,3、多元正态向量 的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设，而 维随机向量，其中 是 阶的常数矩阵，是 维的常向量。则 维随机向量 也是正态的，且。即 遵从 元正态分布，其均值向量为，协差阵为。,4、若，则 若为定值，随着 的变化其轨迹为一椭球面，是 的密度函数的等值面.若 给定，则 为 到 的马氏距离。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,41,1.3.3 条件分布和独立性,目录 上页 下页 返回 结束,我们希望求给定 的条件分布，即 的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。,设 p2,将X、和剖分如下：,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,42,证明参见文献3。,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.3 条件分布和独立性,定理1.2：设，0，则,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,43,(1.28),目录 上页 下页 返回 结束,1.3.3 条件分布和独立性,定理1.3：设，0，将X，剖分如下：,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,44,则 有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：,(1.29),(1.30),证明参见3,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.3 条件分布和独立性,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,45,服装标准例子,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,46,定理1.2和定理1.3在20世纪70年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献3。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：,X1：身高，X2：胸围，X3：腰围，X4：上体长，X5：臀围，已知它们遵从N5（，），其中,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,47,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,48,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,49,再利用（1.30）式得,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,50,这说明,若已知一个人的上体的长和臀围,则身高、胸围和腰围的条件方差比原来的方差大大缩小。,此时我们可看到,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,51,在定理1.2中，我们给出了对X、和作形如(1.25)式剖分时条件协差阵 的表达式及其与非条件协差阵的关系，令 表示 的元素，则可以定义偏相关系数的概念如下：,定义1.6：当 给定时，与 的偏相关系数为：,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.3 条件分布和独立性,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,52,偏相关系数,以x1表示某种商品的销售量，x2表示消费者人均可支配收入，x3表示商品价格。从经验上看，销售量x1与消费者人均可支配收入x2之间应该有正相关，简单相关系数r12应该是正的。但是如果你计算出的r12是个负数也不要感到惊讶，这是因为还有其它没有被固定的变量在发挥影响，例如商品价格x3在这期间大幅提高了。反映固定x3后x1与x2相关程度的偏相关系数r12；3会是个正数。,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,53,1.3.3 条件分布和独立性,在上面制定服装标准的例子中，给定X4和X5的偏相关系数为：,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,54,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.3 条件分布和独立性,定理1.4：设 将X、按同样方式剖分为,其中，,证明参见文献3,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,55,1.4 均值向量和协方差阵的估计,上节已经给出了多元正态分布的定义和有关的性质,在实际问题中,通常可以假定被研究的对象是多元正态分布,但分布中的参数和是未知的,一般的做法是通过样本来估计。,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,56,1.4 均值向量和协方差阵的估计,均值向量的估计,在一般情况下,如果样本资料阵为：,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,57,1.4 均值向量和协方差阵的估计,即均值向量的估计量,就是样本均值向量.这可由极大似然法推导出来。推导过程参见文献3。,目录 上页 下页 返回 结束,设样品 相互独立,同遵从于P元正态分布,而且,0,则总体参数均值的估计量是,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,58,1.4 均值向量和协方差阵的估计,协方差阵的估计,总体参数协差阵的极大似然估计是,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,59,1.4 均值向量和协方差阵的估计,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,60,1.5常用分布及抽样分布,多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量,如前面介绍的样本均值向量、样本离差阵 等都是统计量.统计量的分布称为抽样分布.,在数理统计中常用的抽样分布有 分布、分布和 分布.在多元统计中,与之对应的分布分别为Wishart分布、分布和Wilks分布.,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,61,1.5常用分布及抽样分布,1.5.2 分布与 分布,1.5.1 分布与Wishart分布,1.5.3 中心分布与Wilks分布,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,62,分布有两个重要的性质:,1.5.1 分布与Wishart分布,在数理统计中,若(),且相互独立,则 所服从的分布为自由度为 的 分布(chi squared distribution),记为.,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,63,2.设(),且相互独立,为 个 阶对称阵,且(阶单位阵),记,则 为相互独立的 分布的充要条件为.此时,.,这个性质称为Cochran定理,在方差分析和回归分析中起着重要作用.,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,64,所服从的分布称为自由度为 的 维非中心Wishart分布,记为,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,65,由Wishart分布的定义知,当 时,退化为,此时中心Wishart分布就退化为,由此可以看出,Wishart分布实际上是 分布在多维正态情形下的推广.,下面不加证明的给出Wishart分布的5条重要性质:,相互独立.,和,(1),(2),目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,66,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2.若,且相互独立,则,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,67,特别的,设 和 分别为 和 的第 个对角元,则：,5.若,为任一 元非零常向量,比值,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,68,1.5.2 分布与 分布,在数理统计中,若,且 与 相互独立,则称 服从自由度为 的 分布,又称为学生分布(student distribution),记为.如果将 平方,即,则,即 分布的平方服从第一自由度为1第二自由度为 的中心分布.,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,69,所服从的分布称为第一自由度为 第二自由度为 的中心 分布,记为,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.2 分布与 分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,70,1.5.3 中心分布与Wilks分布,在数理统计中,若,且与相互独立,则称 所服从的分布为第一自由度为 第二自由度为 的中心 分布.记为.分布本质上是从正态总体 随机抽取的两个样本方差的比.,目录 上页 下页 返回 结束,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,71,所服从的分布称为维数为,第一自由度为 第二自由度为 的Wilks 分布,记为,(1.34),定义1.9 设,且 与 相互独立,则称随机变量,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心分布与Wilks分布,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,72,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心分布与Wilks分布,由于分布在多元统计中的重要性,关于它的近似分布和精确分布不断有学者进行研究,当p和 中的一个比较小时,分布可化为F分布,表1-2列举了常见的情况.,表1-2,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,73,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心F分布与Wilks分布,当 不属于表1-2情况时,Bartlett指出用 分布来近似表示,即 近似服从.,Rao 后来又研究用F分布来近似,即,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,74,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心分布与Wilks分布,近似服从,其中,不一定是整数,用与它最近的整数来作为F分布的第二自由度.,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,75,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心分布与Wilks分布,若,有.该结论说明,在使用统计量时也可考虑 的情形,有关统计量的其他性质参见文献1.,2023/8/4,中国人民大学六西格玛质量管理研究中心,76,目录 上页 下页 返回 结束,The end!Thanks!,
