第1章 概率论的基本概念.ppt

华东交通大学基础科学学院胡新根,1,概率论序言,华东交通大学基础科学学院胡新根,2,A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.,考察下面的现象:,确定性现象,华东交通大学基础科学学院胡新根,3,在我们所生活的世界上，充满了不确定性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,华东交通大学基础科学学院胡新根,4,从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.,华东交通大学基础科学学院胡新根,5,将不定性数量化,来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已经十分成功了,但就是那些已得到的成果,已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.,这场革命为研究新的设想,发展自然科学知识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.,华东交通大学基础科学学院胡新根,6,下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是,概率论与数理统计,华东交通大学基础科学学院胡新根,7,特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确知其结果.,现在我们来考察一下不定性现象的特点,例如:在相同的条件下抛同一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么.,又如:一门火炮在一定条件下向同一目标进行射击,各次的弹着点不尽相同,在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置.,华东交通大学基础科学学院胡新根,8,例如:一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等.,又如:在一个容器内有许多气体分子,每个气体分子的运动存在着不定性,无法预言它在指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性,如在一定的温度下,气体对器壁的压力是稳定的,呈现“无序中的规律”.,华东交通大学基础科学学院胡新根,9,特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的结果却呈现出固有规律性.,统计规律性,在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随机现象.,华东交通大学基础科学学院胡新根,10,从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律.,小 结,华东交通大学基础科学学院胡新根,11,概率论的研究对象 随机现象的统计规律性,华东交通大学基础科学学院胡新根,12,第一节 随机试验,几个具体试验随机试验小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,13,上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.,现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究.,华东交通大学基础科学学院胡新根,14,从观察试验开始,研究随机现象,首先要对研究对象进行观察试验.这里的试验是一个含义广泛的术语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.,华东交通大学基础科学学院胡新根,15,几个具体试验,华东交通大学基础科学学院胡新根,16,在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.,华东交通大学基础科学学院胡新根,17,上述试验具有下列共同的特点:,(1)试验可以在相同的条件下重复进行;,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能的结果;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验.,用 表示随机试验.,华东交通大学基础科学学院胡新根,18,小结,几个试验实例随机试验的定义,华东交通大学基础科学学院胡新根,19,第二节 样本空间 随机事件,样本空间 随机事件 事件间的关系与事件的运算 小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,20,试验是在一定条件下进行的,华东交通大学基础科学学院胡新根,21,试验有一个需要观察的目的,华东交通大学基础科学学院胡新根,22,我们注意到,根据这个目的,试验被观察到多个不同的结果.,试验的全部可能结果,是在试验前就明确的;或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可知道它不超过某个范围.,华东交通大学基础科学学院胡新根,23,样本点e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.,一、样本空间,华东交通大学基础科学学院胡新根,24,例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:,S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.,则样本空间,华东交通大学基础科学学院胡新根,25,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S=t：t 0,样本空间,故,若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数：,则样本空间,由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的目的所确定的.,华东交通大学基础科学学院胡新根,26,调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.,也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档.这时，样本点有（高,高）,（高,中），(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成.,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成.,华东交通大学基础科学学院胡新根,27,华东交通大学基础科学学院胡新根,28,请注意：实际中,在进行随机试验时,我们往往会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.,例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定灯泡的寿命(小时)小于500为次品,或者说,我们关心,满足这一条件的样本点组成的一个集合.,这就是,华东交通大学基础科学学院胡新根,29,试验 的样本空间 的子集称为 的随机事件.,二、随机事件,华东交通大学基础科学学院胡新根,30,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件 B=掷出奇数点,事件 A=掷出1点,华东交通大学基础科学学院胡新根,31,基本事件:,(相对于观察目的不可再分解的事件),事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件 Ai=掷出i点,i=1,2,3,4,5,6,由一个样本点组成的单点集.,基本事件,华东交通大学基础科学学院胡新根,32,当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件 B=掷出奇数点,华东交通大学基础科学学院胡新根,33,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用S表示;,不,件,可,事,能,而“掷出点数8”则是不可能事件.,即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示.,华东交通大学基础科学学院胡新根,34,三、事件间的关系与事件的运算,华东交通大学基础科学学院胡新根,35,华东交通大学基础科学学院胡新根,36,华东交通大学基础科学学院胡新根,37,华东交通大学基础科学学院胡新根,38,华东交通大学基础科学学院胡新根,39,两事件A、B互斥：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求A、B互斥()外，还要求,华东交通大学基础科学学院胡新根,40,华东交通大学基础科学学院胡新根,41,华东交通大学基础科学学院胡新根,42,事件的运算满足的规律,华东交通大学基础科学学院胡新根,43,华东交通大学基础科学学院胡新根,44,华东交通大学基础科学学院胡新根,45,华东交通大学基础科学学院胡新根,46,华东交通大学基础科学学院胡新根,47,四、小结,样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算,华东交通大学基础科学学院胡新根,48,那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题.,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事,率,件,概,的,华东交通大学基础科学学院胡新根,49,第三节 频率与概率,频率的定义概率的定义小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,50,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件发生可能性大小的度量,事件发生的可能性越大，概率就越大！,华东交通大学基础科学学院胡新根,51,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？,我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子.,华东交通大学基础科学学院胡新根,52,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,华东交通大学基础科学学院胡新根,53,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,华东交通大学基础科学学院胡新根,54,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,华东交通大学基础科学学院胡新根,55,一、频率的定义,华东交通大学基础科学学院胡新根,56,华东交通大学基础科学学院胡新根,57,华东交通大学基础科学学院胡新根,58,可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具 有稳定性.即通常所说的统计规律性.,华东交通大学基础科学学院胡新根,59,二、概率的定义,华东交通大学基础科学学院胡新根,60,华东交通大学基础科学学院胡新根,61,华东交通大学基础科学学院胡新根,62,华东交通大学基础科学学院胡新根,63,华东交通大学基础科学学院胡新根,64,华东交通大学基础科学学院胡新根,65,华东交通大学基础科学学院胡新根,66,华东交通大学基础科学学院胡新根,67,华东交通大学基础科学学院胡新根,68,华东交通大学基础科学学院胡新根,69,三、小结,频率的定义概率的公理化定义及概率的性质,事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.,华东交通大学基础科学学院胡新根,70,华东交通大学基础科学学院胡新根,71,华东交通大学基础科学学院胡新根,72,第四节 等可能概型(古典概型),古典概型的定义古典概率的求法举例小结 布置作业,华东交通大学基础科学学院胡新根,73,我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,华东交通大学基础科学学院胡新根,74,一、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比任一其它结果，例如 ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1,e2,，eN,华东交通大学基础科学学院胡新根,75,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,e1,e2,，eN,试验结果,华东交通大学基础科学学院胡新根,76,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,华东交通大学基础科学学院胡新根,77,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,华东交通大学基础科学学院胡新根,78,我们用 i 表示取到 i号球，i=1,2,10.,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.,S=1,2,10,则该试验的样本空间,如i=2,华东交通大学基础科学学院胡新根,79,称这种试验为等可能随机试验或古典概型.,若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.,定义 1,华东交通大学基础科学学院胡新根,80,二、古典概型中事件概率的计算,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,华东交通大学基础科学学院胡新根,81,这里实际上是从“比例”转化为“概率”,记 B=摸到红球,P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,华东交通大学基础科学学院胡新根,82,华东交通大学基础科学学院胡新根,83,华东交通大学基础科学学院胡新根,84,华东交通大学基础科学学院胡新根,85,华东交通大学基础科学学院胡新根,86,华东交通大学基础科学学院胡新根,87,华东交通大学基础科学学院胡新根,88,华东交通大学基础科学学院胡新根,89,华东交通大学基础科学学院胡新根,90,华东交通大学基础科学学院胡新根,91,华东交通大学基础科学学院胡新根,92,华东交通大学基础科学学院胡新根,93,华东交通大学基础科学学院胡新根,94,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,请注意：,华东交通大学基础科学学院胡新根,95,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,96,四、小结,古典概型的定义古典概率的求法,华东交通大学基础科学学院胡新根,97,华东交通大学基础科学学院胡新根,98,华东交通大学基础科学学院胡新根,99,华东交通大学基础科学学院胡新根,100,华东交通大学基础科学学院胡新根,101,第五节 条件概率,条件概率乘法公式小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,102,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B)P(A),华东交通大学基础科学学院胡新根,103,P(A)=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)=1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,华东交通大学基础科学学院胡新根,104,P(A)=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,华东交通大学基础科学学院胡新根,105,P(A)=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,华东交通大学基础科学学院胡新根,106,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),2.条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,107,3.条件概率的性质(自行验证),华东交通大学基础科学学院胡新根,108,2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,华东交通大学基础科学学院胡新根,109,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,华东交通大学基础科学学院胡新根,110,注意P(AB)与P(A|B)的区别！,请看下面的例子,华东交通大学基础科学学院胡新根,111,例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,华东交通大学基础科学学院胡新根,112,所求为P(AB).,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B).,B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.,华东交通大学基础科学学院胡新根,113,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为 P(B|A).,华东交通大学基础科学学院胡新根,114,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与 P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小,即 P(A|B)仍是概率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,115,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2),而 P(AB)=P(BA),二、乘法公式,若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率,华东交通大学基础科学学院胡新根,116,华东交通大学基础科学学院胡新根,117,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,华东交通大学基础科学学院胡新根,118,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球，j=1,2,3,4,华东交通大学基础科学学院胡新根,119,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),华东交通大学基础科学学院胡新根,120,一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,华东交通大学基础科学学院胡新根,121,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,华东交通大学基础科学学院胡新根,122,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,华东交通大学基础科学学院胡新根,123,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,计算得：,华东交通大学基础科学学院胡新根,124,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,华东交通大学基础科学学院胡新根,125,华东交通大学基础科学学院胡新根,126,华东交通大学基础科学学院胡新根,127,华东交通大学基础科学学院胡新根,128,华东交通大学基础科学学院胡新根,129,三、小结,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.,华东交通大学基础科学学院胡新根,130,第五节 条件概率,全概率公式贝叶斯公式小结 布置作业,华东交通大学基础科学学院胡新根,131,有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,其中 A1、A2、A3两两互斥,看一个例子:,三、全概率公式,华东交通大学基础科学学院胡新根,132,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项运用乘法公式得,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,运用加法公式得到,即 B=A1B+A2B+A3B，且 A1B、A2B、A3B 两两互斥,华东交通大学基础科学学院胡新根,133,一个事件发生.,华东交通大学基础科学学院胡新根,134,华东交通大学基础科学学院胡新根,135,华东交通大学基础科学学院胡新根,136,某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,n)所引起，则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,华东交通大学基础科学学院胡新根,137,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,诸Bi是原因A是结果,华东交通大学基础科学学院胡新根,138,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的合格品率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,139,课堂练习2.袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得白球，第3、4次取得红球的概率.,课堂练习1：有甲乙两个袋子，甲袋中有2个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白球从甲袋中任取一球(不看颜色)放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,华东交通大学基础科学学院胡新根,140,课堂练习1：有甲乙两个袋子，甲袋中有2个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白球从甲袋中任取一球(不看颜色)放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,华东交通大学基础科学学院胡新根,141,课堂练习2.袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得白球，第3、4次取得红球的概率.,解：,华东交通大学基础科学学院胡新根,142,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,四、贝叶斯公式,看一个例子:,华东交通大学基础科学学院胡新根,143,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,华东交通大学基础科学学院胡新根,144,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,1,1红4白,华东交通大学基础科学学院胡新根,145,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,华东交通大学基础科学学院胡新根,146,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,147,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,华东交通大学基础科学学院胡新根,148,例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求 P(C|A).,华东交通大学基础科学学院胡新根,149,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得 P(CA)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,华东交通大学基础科学学院胡新根,150,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P(CA)=0.1066,P(C)=0.005,华东交通大学基础科学学院胡新根,151,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,2.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,华东交通大学基础科学学院胡新根,152,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,华东交通大学基础科学学院胡新根,153,华东交通大学基础科学学院胡新根,154,华东交通大学基础科学学院胡新根,155,华东交通大学基础科学学院胡新根,156,华东交通大学基础科学学院胡新根,157,这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,五、小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,158,第六节 独立性,两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结,华东交通大学基础科学学院胡新根,159,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,华东交通大学基础科学学院胡新根,160,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B),用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用 P(A|B)=P(A)或 P(B|A)=P(B)更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.,华东交通大学基础科学学院胡新根,161,若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.,两事件独立的定义,华东交通大学基础科学学院胡新根,162,例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的,可见,P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,故 事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解,P(AB)=2/52=1/26.,P(B)=26/52=1/2,华东交通大学基础科学学院胡新根,163,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,可见 P(A)=P(A|B),即事件A、B独立.,则,P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13,华东交通大学基础科学学院胡新根,164,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.,甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中,B=乙命中，A与B是否独立？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,华东交通大学基础科学学院胡新根,165,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2,若抽取是有放回的,则A1与A2独立.,因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.,又如：,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.,若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,华东交通大学基础科学学院胡新根,166,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即 若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.,而P(A)0,P(B)0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,华东交通大学基础科学学院胡新根,167,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,华东交通大学基础科学学院胡新根,168,=P(A)1-P(B),=P(A)-P(AB),P(A)=P(A-A B),A、B独立,概率的性质,=P(A)-P(A)P(B),仅证A与 独立,定理 2 若两事件A、B独立,则,也相互独立.,证明,=P(A)P(),故 A与 独立,华东交通大学基础科学学院胡新根,169,二、多个事件的独立性,华东交通大学基础科学学院胡新根,170,华东交通大学基础科学学院胡新根,171,四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.,华东交通大学基础科学学院胡新根,172,请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对 n(n 2)个事件,?,华东交通大学基础科学学院胡新根,173,对独立事件，许多概率计算可得到简化,三、独立性的概念在计算概率中的应用,华东交通大学基础科学学院胡新根,174,华东交通大学基础科学学院胡新根,175,华东交通大学基础科学学院胡新根,176,四、小结,这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.,华东交通大学基础科学学院胡新根,177,2.商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,华东交通大学基础科学学院胡新根,178,华东交通大学基础科学学院胡新根,179,即,华东交通大学基础科学学院胡新根,180,2.商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,华东交通大学基础科学学院胡新根,181,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes 公式:,