737线性代数 I.ppt

线性代数 I,2007-9-10,个人信息,姓 名 温道伟联系方式 87952402（O）,助教姓名 杨登允联系方式,课程简介,线性代数：研究由一个非空集合及其上的线性运算所 构成的代数系上的问题的一个数学分支,主要研究对象：,（1）线性方程组,（2）线性空间及其向量,（3）线性空间上的线性映射,（4）矩阵,预备知识,集合,1.集合,1.1 定义：,集合就是由一些确定的对象所组成的整体,集合的元素,1.2 记号,集合：,元素：,元素 在集合 中：,元素 不在集合 中：,集合 中的元素的个数：,集合,1.3 例,（1）N,（2）Z,Q,R,C,（3）,（4）,（5）不包含任何对象的集合,是浙江大学的一名2007级本科生,集合,1.4 集合的子集,1.4.1 定义：,设 是两个集合。,我们称 是 的一个子集如果 中的任一个元素都是,中的元素，,记作。,1.4.2 性质,（1）给定任意一个集合，有。,（2）对任意的集合，我们有,且,即 有，,集合,1.5 集合的幂集,1.5.1 定义：,设 是一个集合。,我们称由 的所有子集所构成的集合为 的幂集，记为,或。,1.5.2 例,（2）；,（1）；,1.5.3 性质：,；,集合,1.6 两个集合的交集、并集、余集,（1）与 的交集为,（2）与 的并集为,（3）在 中的余集为,设 是两个集合。,且,或,且,集合,1.7 两个集合的直积,1.7.1 定义：,设 是两个集合。,我们称集合,是 与 的直积，记作。,1.7.2 例,所有平面上的点在平面直角坐标系下的坐标表示所构成的集合,R,都是实数,非空集合间的映射,2 非空集合间的映射,2.1 定义：,设 是两个非空集合。,我们称集合 到 的一个对应 是 到 的一个映射，,如果，根据对应 存在唯一的一个元素,与之对应。,记作,如果，则称集合 为 在 下的,完全原像，,记为。,如果，则称集合 为 在 下的,完全原像，,记为。,非空集合间的映射,2.2 例,（1）,（2）对实数取绝对值,（3）数的加法,（4）恒等映射,非空集合间的映射,2.3 两个映射相等,设 和 是两个映射。,我们说映射 与 相等，如果下述条件成立：,（2），有。,（1）,非空集合间的映射,2.4 映射的分类,2.4.1 单射：,设 是一个映射。,我们称 是一个单射，如果 中的不同元素,根据映射 所对应的 中的元素也是不同的；即,2.4.2 性质：,不是单射,非空集合间的映射,2.4 映射的分类,2.4.3 满射：,设 是一个映射。,我们称 是一个满射，如果 中的任一元素,根据映射 都存在 的一个元素与它相对应，即,2.4.4 性质：,不是满射,非空集合间的映射,2.4 映射的分类,2.4.5 双射：,设 是一个映射。,我们称 是一个双射，如果它既是单射，又是满射。,2.4.6 性质：,是双射,有,二元运算,3二元运算,3.1 定义：,设 是三个非空集合。,我们把一个 到 的映射称为定义在 上取值于,的一个二元运算。,二元运算,3.2 例,（2）设 是三个非空集合，我们记由 到 的所有,（1）数的四则运算,映射所构成的集合为。,我们定义,则“”定义了一个二元元算,（映射的乘积）,代数系统,4 简单代数系统,4.1 定义：,设 是一个非空集合。,我们称 到 的一个映射为 的一个代数运算（,或 上的一个封闭的二元运算）,我们称 及其上的一些代数运算 为一个,代数系统，,记为。,4.2 例,（1）复数集及其上的加法运算。,（2），这儿 是一个非空集合。,代数系统,4.3 半群,4.3.1 定义：,设 是一个代数系统。,我们称 是一个半群，如果运算“”满足结合律，,即,4.3.2 例,（2），这儿 是一个非空集合。,（1）复数集及其上的加法运算。,（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式,所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个,半群。,代数系统,4.4 幺半群,4.4.1 定义：,设 是一个半群。,我们称 是一个幺半群，如果 关于运算“”,有单位元，即,4.4.2 例,（2），这儿 是一个非空集合。,（1）复数集及其上的加法运算。,（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式,所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个,幺半群。,代数系统,4.5 群,4.5.1 定义：,设 是一个幺半群，是其单位元。,我们称 是一个群，如果 中的每个元素关于,运算“”都可逆，即,4.5.2 例,（2），这儿 是一个非空集合。,（1）复数集及其上的加法运算。,（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式,所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个,群。,代数系统,4.6 加法群（或交换群）,4.6.1 定义：,设 是一个群。,我们称 是一个加法群，如果运算“”满足交换律，,即,。此时我们记“”为“”。,4.6.2 例,（1）复数集及其上的加法运算。,（2），这儿 是一个非空集合。,（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式,所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个,群。,代数系统,4.7 环,4.7.1 定义：,设 是一个代数系统。,我们称 是一个环，如果下列条件满足,（3）运算“”对“”满足左、右分配律，即,（2）是一个半群。,（1）是一个加法群。,我们记其单位元为0。,4.7.2 例,（2），这儿 是复数集。,（1）复数集及其上的加法运算。,代数系统,4.8 交换环,4.8.1 定义：,设 是一个环。,我们称 是一个交换环，如果运算“”满足,交换律。,4.8.2 例,（2），这儿 是复数集。,（1）复数集及其上的加法运算。,代数系统,4.9 含幺环,4.9.1 定义：,设 是一个环。,我们称 是一个含幺环，如果 关于运算“”,具有单位元。,4.9.2 例,（2），这儿 是复数集。,（1）复数集及其上的加法运算。,代数系统,4.10 域,4.10.1 定义：,设 是一个代数系统。,我们称 是一个域，如果下列条件满足,（3）运算“”对“”满足左、右分配律，即,（2）是一个交换群。,（1）是一个加法群。,我们记其单位元为0。,4.10.2 例,（2），这儿 是复数集。,（1）复数集及其上的加法运算。,代数系统,4.10.2 例,（3）集合Q Q 关于数的,加法和乘法构成一个域。,证明：（i）Q 关于加法构成一个加法群。,(a)是一个代数系统,，即加法的封闭性。,(b)是一个半群，即结合律。,(c)是一个幺半群，即存在零元。,(d)是一个群，即逆元存在。,(e)是一个交换群，即交换律。,（ii）Q 关于乘法构成一个交换群。,略。,几何向量的线性运算,5 几何向量的线性运算,5.1 几何向量,5.1.1 定义：,我们称用有向线段表示的向量为几何向量。,5.1.2 坐标表示：,设在空间直角坐标系中的两个点的坐标为,。则有向线段 所表示的,几何向量 可用坐标表示为,5.1.3 几何向量的负向量,5.1.4 零向量,几何向量的线性运算,5.2 几何向量的加法,5.2.1 平行四边形法则,5.2.2 三角形法则,5.2.3 坐标表示：,设,则,5.2.4 为什么称为加法？,我们用 表示由所有的几何向量构成的集合。则,是一个加法群。,几何向量的线性运算,5.3 几何向量与数量的乘法（数乘运算）,5.3.1 定义：,设 是一个几何向量，是一个实数。,我们定义 是一个与 在一条直线上的几何向量，其,长度是 的 倍，其方向由 确定：,如果，则 与 同向。,如果，则 与 反向。,5.3.2 单位向量,几何向量的线性运算,5.3.3 数乘运算的坐标表示,设向量，是一个实数。则,5.3.4 数乘运算的性质,（4）,（3）,（2）,（1）,多元向量的线性运算,6 元向量的线性运算,6.1 元向量,6.1.1 定义：,我们称由 个数 所组成的有序,我们称 为这个向量的第 个分量。,如果这些数都是实（复）数，则称这个向量为实（复）向量。,数组为 元向量，记为。,6.1.2 两个 元向量相等,多元向量的线性运算,6.2 元向量的加法,设,则定义,5.2.3 坐标表示：,设,则,多元向量的线性运算,6.3 元向量与数量的乘法（数乘运算）,6.3.1 定义：,设向量，是一个数。则定义,6.3.2 数乘运算的性质,（4）,（3）,（2）,（1）,作业,P46 习题,1,4,7,21,23,28,52,53,56,P54 补充题,11，12，13,