《实变函数直播课程》PPT课件.ppt

直播课程一,正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。,比如，连续函数必定可积，但是,具有什么性,质的不连续函数也可积,呢？如果改变积分的定义，可积分条,件又是什么样的？连续函数不一定,可导，那么可导的充分必要条件又是,什么样的？,什么,是,测度呢？简单地说，,线,段的长度,平面,图形,的,面积,空间,立,体,的,体积,就是它的测度。,测度的概念,对于实变函数论十分重要。集合的测,度这个概念是由法国,数学家勒贝格,提出来的。,数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号,可以看出，它含有两个要素及一个运算,（1）积分区间,（2）被积函数,（3）积分运算,R-积分的局限性,可积性不易验证。积分与极限交换顺序的条件太苛刻。积分不完全是微分的逆运算。,本课程的中心内容：推广黎曼积分为勒贝格积分,记号：,注意 这里E是欧几里德(Euclid)空间的点集，不必是区间，是可测函数，而积分运 算依赖所考虑的测度。,主要内容,集合论 空间点集论 测度论 可测函数 Lebesgue积分论,基本要求,1,理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，,集与集之间的包含关系的区别。,2,掌握集之间的并、交、差、余运算。,3,掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。,4,理解集列的收敛、单调集列的概念。,5,掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。,6,理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用,定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。,7,理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、,基数为,C,的集合的性质，理解不存在最大基数的定理,的意义。,可数集的性质,任何无限集必含有可数子集,可数集的子集至多是可数的。,即或为有限集或为可数集。,可数个可数集的并集是可数集。,D.可数个可数集的并集是可数集。若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定，各记号跑遍一个可数集,例1：证明,例2,例3：证明,直播课程二,例4：,第二章,点 集,主要内容,度量空间、,n,维欧氏空间简介,聚点、内点、界点等概念,开集、闭集、完备集。,直线上的开集、闭集及完备集的构造。,1,明确,n,维欧氏空间中极限概念主要依,赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极,限理论中的作用。,2,理解聚点，孤立点、内点、外点、界,点的意义，掌握有关性质。,3,理解开集、闭集、完备集的意义，掌,握其性质。,4,理解直线上开集、闭集、完备集的构,造。,5,理解康托集的构造、特性。,基本要求,例1,例2,主要内容,外测度及其性质。,Lebesgue,可测集及其性质。,基本要求,理解测度的意义。,理解外测度的意义，掌握其有关性质。,理解可测集的定义，掌握可测集的性质。,了解并掌握不可测集的存在性这一结论。,第三章测 度 论,例1,例2,例3,例4,例5,例6,例7,例8,第四章,可 测 函 数,主要内容,可测函数及其性质。,叶果洛夫定理。,可测函数的构造。,依测度收敛。,基本要求,1,掌握可测函数的定义及等价定义。,2,掌握可测函数的有关性质。,3,理解简单函数的定义，掌握可测函数,与简单函数的关系。,4,掌握可测函数列的收敛点集和发散点,集的表示,方法。,5,掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。,6,理解依测度收敛的意义，掌握依测度收,敛与,a,e,收敛的联系与区别。,例1,例2,例3,第五章,积 分 论,主要内容,黎曼积分的简单回顾。,勒贝格积分的建立和性质。,积分的极限定理。,有界变差函数。,不定积分与绝对连续函数。,基本要求,1,了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处,连续（不要求掌握证明）。,2,理解勒贝格积分的定义及其建立过程。,3,理解,R,积分与,L,积分的关系。,4,理解,L,积分的性质，特别是掌握,L,积分的绝对,可积性和绝对连续性。,5,掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积,分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。,6,理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性,质。,7,理解有界变差函数的导数性质。,8,理解不定积分与绝对连续函数的意义。,答：,(,),1,0,，,在,x,f,上不黎曼可积，,因为,的不连续点集为,，不是零测集。但,上有界可测。从而勒贝格,可积。,(,),1,0,，,在,x,f,记,为,的有理数，,为,的无理数，则,例,2,计算：,解,则,且对任何,都,有,。,显然,可测，,由,Lebesgue,控制收敛定理，,