《安德森空气动力学》PPT课件.ppt

CHAPTER 9 OBLIQUE SHOCK AND EXPANSION WAVES 斜激波和膨胀波,凹角上的斜激波：流动偏转角(turning angle,deflection angle)：固体壁面的偏转角 激波角(shock angle)：波前流动方向与激波夹角,当超声速流动的流动方向被迫突然变化时，就会产生斜激波。,尖楔上的斜激波：流动偏转角：固体壁面的偏转角 激波角：波前流动方向与激波夹角尖楔半顶角(wedge half-angle)：对尖楔，=,=,Across the oblique shock wave,the Mach number discontinuously decreases,and the pressure,density,and temperature discontinuously increase.,Across the expansion wave,the Mach number continuously increases,and the pressure,density,and temperature continuously decrease.,the physical mechanism that creates waves in a supersonic flow超音速流中产生波的物理机理,If the upstream flow is subsonic,the disturbances have no problem working their way upstream,thus giving the incoming flow plenty of time to move out of the way of the body.如果上游是亚音速的，扰动可以毫不困难地传播到远前方上游，因此，给了来流足够的时间以绕过物体。,The information is propagated upstream at approximately the local speed of sound.物体存在的信息以近似等于当地音速的速度传播到上游去。（弱扰动）,if the upstream flow is supersonic,the disturbances cannot work their way upstream;rather,at some finite distances from the body,the disturbance waves pile up and coalesce,forming a standing wave in front of the body.如果上游是超音速的,扰动不能一直向上游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。,情形一：静止物体产生扰动的传播,超音速流中产生波（激波和膨胀波）的物理机理due to the propagation of information via molecular collisions anddue to the fact that such propagation cannot work its way into certain regions of the supersonic flow.通过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音速流中某些区域。,The disturbance can propagate to the whole space.,The disturbance cannot propagate（扩散）to the space before the source.,The disturbance can only propagate to special domain.,情形二：运动的物体产生的声波,以1.4倍当地马赫数运动的声源，突破声障，形成马赫波,马赫波和马赫角,(9.1),补充：超音速流动的影响域和依赖域是一对顶锥（double cone）,影响域Influence domain,影响域Influence domain,If the disturbances are stronger than a simple sound wave,then the wave front becomes stronger than a Mach wave,creating an oblique shock wave at an angle to the freestream,where.This comparison is shown in Fig.9.4.However,the physical mechanism creating an oblique shock is essentially the same as that described above for the Mach wave.如果扰动比声波强（强扰动波）,其引起的波振面就会比马赫波强,产生一个与来流夹角为 的斜激波,且。这一比较在图9.5中给出。然而，斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。,EXAMPLE 9.1 A supersonic airplane is flying at Mach 2 at an altitude of 16 km.Assume the shock wave pattern from the airplane(see Figure 9.1)quickly coalesces into a mach wave that intersects the ground behind the airplane,causing a“sonic boom”to be heard by a bystander on the ground.At the instant the sonic boom is heart,how far ahead of the bystander is the airplane?,解：,斜波产生的根源,普朗特梅耶膨胀波,斜激波关系式,流过尖楔与圆锥的超音速流,激波干扰与反射,脱体激波,激波-膨胀波理论及其在超音速翼型中的应用,.2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS(斜激波关系式）,仍使用正激波推导中使用的控制体：,控制体：面a,d平行于激波，面b,c,e,f垂直与激波,连续方程：,(9.2),动量方程：,将动力方程分解为两个方向：1、平行斜激波方向：切线方向,(9.2),(9.),The tangential component of the flow velocity is constant across an oblique shock.通过斜激波流动的切向速度分量保持不变,动量方程：2、垂直斜激波方向：法线方向,(9.7),（.7）式中只出现激波的法向分量,积分形式的能量方程：,(9.),(9.9),(9.10),(9.11),(9.12),方程(9.2)、(9.7)、(9.12)分别是斜激波的连续、动量、能量方程。它们只包含斜激波的法向速度分量u1、u2，而不包含斜激波的切向速度分量w1、w2 Hence,we deduce that changes across an oblique shock wave are governed only by the component of velocity normal to the wave.因此，我们得出结论通过斜激波的流动特性变化只由垂直于斜激波的速度分量决定,(9.2),(9.),(9.7),(9.12),归纳前面推导出的控制方程如下：,结论：1：斜激波不改变切向速度，即穿过斜激波以后，切向速度不变；2：如果用斜激波的法向速度代替正激波的速度V1和V2，则斜激波控制方程组和正激波的完全相同；,结论：3：根据正激波产生的条件可以推断，斜激波波前法向速度必定是超音速的，波后法向速度必定是亚音速的。但是注意，波后合速度V2不一定是亚音速的，也可能是超音速的；4：斜激波的关系式和正激波完全相同；5：斜激波除了压缩流体，还使流动方向发生改变。,定义法向马赫数：,(9.18),(9.13),则有：,(9.14),(9.16),(9.17),方程(9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依赖于上游马赫数的垂直分量Mn,1,但是,由(9.13)知，Mn,1既依赖于M1又依赖于.,(9.15),方程(9.18)引入了偏转角进入斜激波分析，为计算我们M2我们必须知道。然而，不是一个独立的自变量即第三个参数，而是M1和的函数。下面推导与M1和的函数关系。,(9.19),(9.20),(9.21),(9.22),(9.23),Equation(9.23)is an important equation.It is called the-M relation,and it specifies as a unique function of M1 and.This relation is vital to the analysis of oblique shock wave,and results from it are plotted in Fig.9.9 for=1.4.方程(9.23)被称为-M 关系式，它限定了 为M1和的唯一函数。这是分析斜激波特性的最重要的关系式，其结果在图9.9（旧版图9.7）中给出（=1.4）。,（隐式方程，一般要迭代求解）,斜激波的强度不仅取决于波前马赫数，还与激波角 有关系。当给定波前马赫数M1时，激波强度仅取决于激波角。,图9.9给出的是以波前马赫数为参数，激波角随偏转角的变化曲线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性。图9.9说明了许多与斜激波相关的物理现象.例如:,（教材中的分析2）给定M1和，对应两道斜激波，亦即通过迭代计算，可以得出两个激波角。这两个激波角对应两个斜激波：较大激波角激波较强，称强斜激波；较小激波角激波强度较弱，称弱斜激波。在图中，有一道近似平行的实线用来区分强、弱斜激波。图中还有一道近似平行的虚线，对应激波跨过弱斜激波后的波后马赫数。其上波后马赫数M21.,弱激波和强激波,超声速流动中的附体斜激波总是弱斜激波；喷管流动中，反压较高时，出口截面可能 形成强斜激波。,流动偏转角与波强的关系：教材中分析3 1、当M2=M1时，越过激波马赫数不变斜激波退化为声波（马赫波），对应流动偏转角=0，对应的激波角=（马赫角）。2、当=/2时，斜激波变成正激波，对应流动偏转角也是0。3、在这两种状态之间，0.,说明流动偏转角必存在一个最大值max，其对应的激波角为max.(教材中分析1),0,M2=M1,越过激波马赫数不变斜激波退化为马赫波,=0,波强度=0,=0,=/2,正激波,波强度最大,有最大值max,对应max,考虑另外一个实验。让我们保持M1不变而增大偏转角。如图9.13所示。随着的增大，激波角增大，Mn,1是增大的，激波将会变强。但是，一旦角超过max,激波会变成脱体激波。对于图9.11中M1=2.0的情况，230时就会出现脱体激波。,图9.13 增大偏转角的影响,由公式（9.23），有=f(M1,).给定M1，如果 max，求不出。此时激波脱体，成为脱体激波。,图9.10 附体激波和脱体激波,最大偏转角max的物理意义：当实际流动的偏转角超过最大偏转角时，流动将不再满足斜激波流动控制方程斜激波离开凹角，向上游移动某一距离成为脱体激波。最大偏转角max是斜激波可以附体的最大可能的流动偏转角。M，max。,波前马赫数和激波角的关系：（教材分析四）对给定半顶角为的尖楔：,M1,M1,波强增加，更加附体,波强减小，容易脱体,M1,图9.12 增大上游马赫数的影响,小结：1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个max。max出现弯的脱体激波。,2、对应一个值（max），存在两个值。不同M1对应的max组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一条稍低于max连线的曲线为M2=1的连线，上部分对应波后为亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。3、=00，对应=900 和=。4、对于相同的，波前马赫数M1越大，激波角越小，Mn1越大，所以激波越强。5、对于相同的波前马赫数M1，越大，激波角越大，Mn1越大，所以激波越强。,例9.2 考虑一超音速来流,来流马赫数 M1=2,p1=1atm,T1=288K。流动通过一个20o的拐角压缩。计算形成的斜激波之后的马赫数M2,压强p2,温度T2,总压p0,2,总温T0,2.解:已知M1=2,=20o,由图9.9可查知:=53.4o.因此有Mn,1=M1sin=2sin53.4o=1.606.查附表B,得:,对于M1=2,由附表A可知,p0,1/p0,2=7.824,T0,1/T1=1.8,因此:,注意:附表B中的p0,2/p1不能用于本题p0,2的计算.,例9.3 考虑一激波角为30度的斜激波.上游马赫数为2.4.计算通过斜激波的气流偏转角,压强比p2/p1,温度比T2/T1以及波后马赫数M2.解:由图9.9可查知,对于M1=2.4,=30o,有=6.5o.因此 Mn,1=M1sin=2.4sin30o=1.2 查附表B,可得:,本例说明了如下两点:这是一个相当弱的激波,通过激波压强只有51%的增加量。仔细观察图9.9我们会发现，在这种情况下激波非常靠近马赫波,马赫角=arcsin(1/M)=24.6o,激波角30o比马赫角24.6o大不了多少，偏转角=6.5o,也是小量，与弱激波的特征相符。2.仅需要两个物理特性给定,就可唯一确定给定斜激波的特性.例9.1给定了M1和,例9.2给定了M1和.,例9.4 考虑一激波角为35o的斜激波,波前波后的压力比p2/p1=3。计算激波上游马赫数M1。解:由附表B可查得,对应 p2/p1=3,Mn,1=1.64(近似)所以 有:,注意:本例再一次说明了斜激波是由两个物理特性唯一确定.,例9.5 考虑一来流马赫数为3的流动。我们希望将这个流动减速为亚音速流动。考虑两种不同的方法：(1)直接通过一道正激波减速；(2)首先通过一个激波角为400的斜激波，然后再通过一个正激波。这两种情况在图9.14中表示出来。计算这两种情况的最终总压比。即计算第二种情况激波后的总压与第一种情况激波后的总压比。讨论此结果的意义。,图9.14 例9.5的说明,解:对第一种情况,M1=3,由附表B可得:,对于第二种情况,我们有Mn,1=M1sin=3sin40o=1.93。由附表B可得:,由图9.9,对于M1=3,=40o,我们得到偏转角=22o.因此:,由附表B,对于上游马赫数为1.90的正激波,我们有p0,3/p0,2=0.7674.因此,对第二种情况,有:,因此,得到我们要求的两种情况总压比:,例9.5的这一结果指出：第二种情况对应的多激波系波后的总压比第一种情况对应的单一正激波后的总压高76%。从理论上讲,总压是气体可做多少有用功的量度，我们将在10.4节中描述并讨论。若其他条件相同，总压越高，气流越有用。总压损失是气流效率的量度，总压损失越小，流动过程的效率越高。,在这个例子中,第二种情况比第一种情况更有效地将气流减速为亚音速,因为通过多个激波系的第二种情况的总压损失比通过单独正激波的第一种情况小。这一结果的物理意义很明显。当马赫数增加时，通过正激波的总压损失越来越大，查看附表B很容易证明这一点，如果流动的马赫数在通过正激波前就被降低，总压损失就会变小，这是因为较小的波前马赫数对应较弱的正激波。这就是第二种情况中斜激波的作用，斜激波使流动在通过正激波前降低速度，尽管通过斜激波也有总压损失，但对于同一个上游马赫数来说比正激波的要小得多。斜激波降低气流马赫数的作用补偿了通过斜激波引起的总压损失，因此通过多激波系的第二种情况引起的总压损失小于通过单一正激波引起的总压损失。,这些结果的实际应用之一就是超音速进气道的设计.,Supersonic Inlet 超音速进气道Jet Engine 喷气发动机Lip of the Inlet:进气道唇口,图9.15 正激波进气道（a）和斜激波进气道（b）示意图,F16。超音速状态下效率急剧下降，无法在1.6马赫以上工作,歼7,这个杆，是做什么用的？,我国战斗机进气道技术的发展歼5,6：皮托管式进气道歼6-改：固定激波锥的二波系进气道歼7：可调激波锥的机头进气二波系进气道歼8：随马赫数无级调节的机头进气二波系进气道歼8II：二元外压式三波系两侧进气道枭龙：无附面层隔道超音速进气道（DSI，F35使用，世界上仅美中掌握的进气道技术）,9.3 SUPERSONIC FLOW OVER WEDGES AND CONES 流过尖楔和圆锥的超音速流,图9.16绕尖楔和圆锥超音速流的对比，三维效应的说明,比较两个流动，共同之处是都有一个由头部开始的贴体直斜激波。不同之处可归纳为如下三点：（）圆锥上的激波较弱；（）圆锥表面的压强较小；（）圆锥表面上方的流线是弯的。原因：三维效应（three-dimensional relieving effect),例9.6 考虑如图9.17所示,来流马赫数为5，绕15o半顶角尖楔的流动。计算这一尖楔的阻力系数。(假设尖楔底部压力为自由来流静压，如图9.17 所示)。解:设单位展长的阻力为D,则,图9.17 例9.6的说明,注意:,由图9.9,M1=5,=15o,可知,=24.2o,因此Mn,1=M1sin=5sin(24.2o)=2.05由附表B,因此:,注意:对于这个例子阻力为有限值.在无粘超音速和高超音速流动中,二维物体总是受到一定的阻力的.阻力产生的根源是激波的出现.激波是一个耗散的,产生阻力的机制.因此,这种情况下的阻力被称为波阻.,Note:The drag is finite for this case.In a supersonic or hypersonic inviscid flow over a two-dimensional body,the drag is always finite.The fundamental reason for the generation of drag here is the presence of shock waves.Shocks are always a dissipative,drag-producing mechanism.For this reason,the drag in this case is called wave drag.,复习:DAlemberts paradox:低速无粘流动中二维物体的阻力为零.,9.4 SHOCK INTERACTIONS AND REFLECTIONS 激波相交与反射,如上图所示的斜激波在真实情况下有时会碰到固壁或与其它激波、膨胀波相交，进而发生相互作用，这种现象称为激波的相交与反射。,X-15 机长 15.30 米，机高 3.53 米，翼展 6.79 米，采用中单翼设计，最初装备两台 XLR-11 火箭发动机（后改为 XLR-99）。在近十年的时间里，X-15 先后创造了 6.72 马赫和 108,000 米的速度与升限的世界记录，它的试验飞行几乎涉及了高超音速研究的所有领域。,1967年8月的飞行中，第一次确定了激波冲击加热的剧烈。当时X-15-2飞行在6.7时，激波造成的气动加热破坏了冲压发动机和腹鳍，并造成4台测试设备丢失。,激波在壁面上的规则反射,讨论：The strength of the reflected shock wave is weaker than the incident shock.反射激波的强度比入射激波弱。Why?Since the deflection angles are the same,whereas the reflected shock sees a lower upstream Mach number.这是因为对应相同的偏转角，反射激波的波前马赫数较小。The angle the reflected shock makes with the upper wall,is not equals to 1;i.e.,the wave reflection is not specular.反射激波与上壁面的夹角 不等于入射激波的激波角 1，即反射不是镜像反射。,讨论(续）：反射激波后的流动特性以及反射波与上壁面的夹角可以由M1和唯一确定。具体步骤如下：1.由给定的M1和计算2区的流动特性。特别是求出M2的值。2.由上一步求出的M2和已知的值计算区域3的流动特性。,只要上游马赫数和固壁流动偏转角允许形成附体激波，这样的反射过程会继续下去，马赫数越来越小，即M1M2m3，激波强度越来越弱。这种反射称为规则反射。,马赫反射（Mach Reflection),当入射激波在固壁上的反射不能形成附体激波时，将产生脱体激波。脱体激波与入射激波相交。这种激波反射叫做马赫反射。反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解。,图9.20 激波在壁面上的马赫反射,M1,M2,入射激波,马赫激波,反射激波,滑移线,M3,M4,穿过两道斜激波的流动和穿过一道正激波的流动，一般情况下具有不同的流动参数，必然有一道分隔线将它们分开。这种把流场分隔成两个具有不同流动参数的流线称为滑移线（slip line）；穿过滑移线静压和流动方向必须相同，但是静温、速度大小等可以不同，特别是熵不相同。注：注意区分滑移线的间断和激波的间断。激波的间断是所有参数的间断，而滑移线的间断是某些参数的间断。,异侧激波的规则相交,图9.21 左行激波与右行激波的规则相交,透射斜激波,透射斜激波,左行激波,右行激波,异侧激波的马赫相交,P653.,同侧激波的相交,两同向激波相交形成一更强的激波CD,同时伴随一个弱反射波CE。这一反射波是必须的，以调节保证滑移线CF分开的4区和5区速度方向相同。,图9.22 两左行波相交,M1,M2,M3,滑移线两侧流动参数比较,例9.7 假设由10o偏转角压缩而产生一斜激波。波前马赫数为3.6，气体压强和温度均为海平面标准状况。这个斜激波碰到在压缩角上方的一直壁。此流动如图9.19所示。计算反射激波与直壁的夹角，反射激波之后的压强、温度和马赫数。解：由图9.9，对于M1=3.6,=10o,我们可查出，1=24o。因此，Mn,1=M1Sin1=3.6Sin24o=1.464查附表B，则得：,因此有：,至此，我们得到了入射激波之后的流动特性。即完成了步骤1。,我们前面求出的入射激波波后的流动特性即为反射激波波前的流动条件。我们同时知道通过反射激波流动必须偏转10度以满足上壁面边界条件。由反射激波前马赫数M2=2.96，偏转角=10o，查-M图（图9.9），可得 2=27.3o。由图9.19可以看出：=2-=27.3o-10o=17.3o同样，由反射激波前的法向马赫数分量Mn,2=M2Sin2=1.358,查附表B可得：,因此有：,对于海平面标准大气条件，p1=1atm,T1=288K,因此有：,9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY 钝头体前的脱体激波,Shock detachment distance：激波脱体距离；Sonic line:音速线,图9.23 绕钝头体的超音速流动,图9.24 与图9.23对应的-M曲线,在图9.23中，点a处激波与来流垂直。离开点a，激波逐渐变弯变弱，最后在远离物体的地方变为马赫波（图9.23中的e点）。A curved bow shock wave is one of the instances in nature when you can observe all possible oblique shock solutions at once for a given freestream Mach number,M1.This takes place between points a to e.弯曲弓形激波是可让你观察到在同一来流马赫数下所有可能的斜激波解的例子之一。对应由a 至 e之间的各点.a-c:对应强解；c:对应最大偏转角max 点。c-c:对应波后马赫数小于1的弱解。c:对应激波之后气流速度为音速的点。c-e：对应激波之后马赫数大于1的弱解。,弓形激波与钝头体之间的流动为超音速流和亚音速流的混合区。亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线。脱体激波的形状，激波脱体距离，以及整个流场的解由来流马赫数，钝头体的尺寸与形状确定。采用数值求解技术可以得到该流场的解。,9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES 普朗特-梅耶膨胀波,在光滑无摩擦的表面上，当超声速流动遇到尖凸角时，由于物理边界的要求，流向必须发生偏转，这种扰动就会产生膨胀波。,特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程。,M1的马赫线,M2马赫线,扇形膨胀区偏转必须逐步进行,普朗特-迈耶（Prandtl-Meyer）流动：,绕尖凸角的定常均匀平行二维流动，可以像斜激波那样用一维方法分析。这种膨胀波称为：普朗特-迈耶膨胀波。基本假设：二维定常超音速流，全流场等熵；绕拐角偏转之前，所有流线平行于壁面，是直线；偏转之前所有的流动参数均匀，且均为常数；完成偏转后，下游所有流动参数也是均匀的常数，流线平行于拐角后的壁面；在扇形膨胀波区内，沿着拐角发出的每一条马赫线（膨胀波）上，流动参数都是常数，马赫线是直线。,图9.26 通过无限弱波（极限马赫波）的无限小变化的几何关系图,P+dPV+dV M+dM,PVM,考虑一个以无限小的偏转d 引起的非常弱的波，如上图所示。这个波实际上就是与上游速度夹角为的马赫波。我们前面已经证明了通过斜激波波前波后的切向速度分量保持不变。所以将波前速度的大小与方向用AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小和方向的AC矢量线段构成一个三角形ABC。三个内角的大小如图所示。注意,波前波后切向速度分量不变保证了CB垂直于马赫波。,对ABC应用正弦定理：,(9.32),Equation(9.23)relates the infinitesimal change in velocity,dV,to the infinitesimal deflection across a wave of vanishing strength.In the precise limit of a Mach wave,of course dV and hence are zero.In this case,Eq.(9.32)is an approximate equation for a finite,but it becomes a true equality as.Since the expansion fan illustrated in Figs.9.1b and 9.23 is a region of an infinite number of Mach waves,Eq.(9.32)is a differential equation which precisely describes the flow inside the expansion wave.方程(9.32)式将无限小的速度变化 dV与通过无限弱强度波的气流偏转角 相联系。在对应精确马赫波的情况下，dV=0,因此。(9.32)式对于有限值 是一个近似方程，而当 时，是一个精确等式。由于图9.2b 和 9.25 中的扇形膨胀波是由无穷多个马赫波组成，因此，(9.32)式是一个精确描述膨胀波内部变化的微分方程。,参照图9.25,将(9.32)式从偏角为零，马赫数为M1的区域1，积分到偏角为，马赫数为M2的区域2：,(9.32),(9.33),（9.38),（9.39),同时求导,8.40,先取对数，再同时求导（a0为常数）,将(9.39)式代入到（9.33)式，得到：,（9.40),（9.41),被称为Prandtl-Meyer函数(角)，其具体表达式如下：,（9.42),因此，（9.40)的积分可以表示为：,（9.43),（9.43),is given by Eq.(9.42)for a calorically perfect gas.The Prandtl-Meyer function is very important;it is the key to calculation of changes across an expansion wave.Because of its importance,is tabulated as a function of M in App.C.For convenience,values of are also tabulated in App.C.对于量热完全气体,由(9.42)式给定。Prandtl-Meyer 函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的关键；由于其重要性，作为马赫数M的函数在附录C中以列表形式给出。同时马赫角 作为M的函数也在附录C中给出。,普朗特迈耶流动的计算,设初始马赫数M1，膨胀后马赫数M2，流动偏转角可以表示为：,称为普朗特迈耶角。物理意义：1、初始为声速的流动膨胀到马赫数为M时所必须偏转的角度；2、任何超声速流动都可以假想是由声速流经偏转而来的，所以普朗特迈耶角与马赫角一样是超声速流动的特征参数。,普朗特迈耶流动的最大流动偏转角,马赫数，则；当马赫数，max存在最大值（量热完全气体）：,物理意义：初始速度为音速时，可能的最大流动偏转角；或者说偏转这个角度时，流动可以膨胀到马赫数无穷大。,习题9.15,实际中，最大流动偏转角不可能实现，因为：1、真实流动有粘性，膨胀到移动程度流动从表面分离；2、与最大流动偏转角对应的压强是0，连续介质假设不成立。,下面我们应用以上结果给出求解图9.26所示问题的具体步骤：1.对于给定M1，由附录C查得。2.由 计算。3.根据第2步计算出的，查附录C得到M2。,4.因为膨胀波是等熵的，因此p0和T0通过膨胀波保持不变。即T0,1=T0,2,p0,1=p0,2。由(8.40)式，(8.42)式，我们有,（9.44）,（9.45）,例9.8 马赫数、压强、温度分别为1.5,1atm,288K的超音速气流流过如图9.23偏转角为15o的凸角，计算M2，T2，p0,2，T0,2以及前马赫波及后马赫波与上游来流的夹角。解：1.对于给定M1=1.5，查附录C得。2.由(9.43)式计算得。3.由 查附录C,得M2=2.0。(近似）,4.由附录A，对应M1=1.5，有p0,1/p1=3.671，T0,1/T1=1.45 对应M2=2.0，有p0,2/p2=7.824，T0,2/T2=1.8 因为流动是等熵的，所以T0,2=T0,1，p0,2=p0,1所以：,前马赫波与上游来流夹角=后马赫波与上游来流夹角=,补充:Prandtl-Myer关系式 的应用,等熵压缩马赫波-满足Prandtl-Myer关系式,可以使用普朗特迈耶关系式，由1区的流动特性计算2区的流动参数。,同样可以使用普朗特迈耶关系式，由1区的流动特性计算2区的流动参数。,DESIGN BOX,超燃冲压发动机(SCRAMjet)的基本设计特征,前体波头部开始的 激波压缩气流；超燃冲压发动机舱 通过进气道内反射激波系进一步压缩气流并与燃料混合，从发动机尾部膨胀喷出；飞行器后部膨胀面 使喷出气流进一步膨胀发动机整流罩在设计飞行状态要求前体激波接到整流罩前缘,如图9.30所示：前体激波之后还可以通过等熵压缩在气流进入进气道之前进一步压缩。,影响超燃冲压发动机性能和气动特性的因素与物理问题有：前缘钝头降低头部气动加热粘性边界层及激波边界层干扰产生阻力和气动加热；引起气流 分离与再附层流向湍流转捩影响阻力和气动热激波间干扰引起发动机整流罩严重的气动加热问题,超燃冲压发动机的原理草图：,4-5：燃烧室（Combustor),特点:燃烧气流具有高马赫数,例9.9 在前面的对超燃冲压发动机的讨论中，提到了等熵压缩波作为可能的压缩机制之一。考虑如图9.34a所示的等熵压缩。压缩波上游的马赫数和静压分别为：M1=10，p1=1atm。气流总的偏转角为15度。计算压缩波后区域2的马赫数和压强。,由附录C，根据 2 的值，可得：,在区域2，,由附录C，M1=10时，,由附录A，得到p0,1/p1,p0,2/p2 的值，即可得：,例9.10 考虑如图9.34b所示的压缩凹角。上游的马赫数和静压与例9.9一样分别为：M1=10，p1=1atm。气流通过一道斜激波偏转角15度。计算激波后区域2的马赫数、静压和总压。与例9.9相比较并讨论比较的意义。解:由图9.9可得：M1=10，=15度，对应,因此：,9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY:APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS激波膨胀波理论及其对超音速翼型的应用,例1 平板翼型：,(9.46)(9.47)(9.48),(9.46)-(9.48)式中，p3 由斜激波特性计算而得，p2由膨胀波特性计算而得。象这样由激波-膨胀波理论(shock-expansion theory)计算得到解是精确解。,图9.26中,平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强p2，下表面为前缘处斜激波后的压强 p3，p3 p2，因此平板翼型受到合力R的作用，可分解为升力L和阻力D：,PRESSURE DISTRIBUTION ON FLAT PLATE AT SUBSONIC AND SUPERSONIC,亚声速平板：因前缘绕流速度很大，前缘载荷很大，后缘满足压强相等的库塔条件，后缘载荷为零；超声速平板：因超声速绕流，上下表面流动互不影响，上下翼面压强系数大小相等，方向相反，载荷系数为常数。,什么情况下可以利用激波-膨胀波理论来求解翼型的气动特性？Whenever we have a body made up of straight-line segments and the deflection angles are small enough so that no detached shock waves occur,the flow over the body goes through a series of distinct oblique shock and expansion waves,and the pressure distribution on the surface(hence the lift and drag)can be obtained exactly from both the shock-and expansion wave theories discussed in this chapter.只要翼型是由直线段组成的，且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组成的，因此，我们可以应用激波-膨胀波理论精确地求解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。,例2：对称菱形翼型（Diamond-shape airfoil),受力分析：a、c面压强均匀相等，用p2表示，为压缩偏转角为的斜激波后的压强；b、d面压强均匀相等，用p3表示,为膨胀偏转角为2的膨胀波后的压强。,因为流动是上下 对称的，所以L=0；而由于p2p3,所以会有阻力分量D。,即：,（9.49),讨论：这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常重要的特征。由（9.48)式和(9.49)式可以看出，二维翼型在超音速流中将受到一定的阻力。这和我们在第3、4章中讨论的低速无粘不可压缩流动绕二维物体阻力为零的结果恰恰相反。在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这一阻力被称为波阻。降低波阻是超音速翼型设计中的一个重要考虑因素。波阻的存在在本质上与翼