《反矩阵与行列式》PPT课件.ppt

反矩陣與行列式,東海大學物理系數值分析,Definition,I:單位矩陣，Iij=dij對一 nn 矩陣A，若存在另一 nn 矩陣 B 使得 AB=I，則稱 A 為可逆（invertible）或非奇異（nonsingular）矩陣，B 則可寫為 A-1若 A-1 不存在，則稱 A 為不可逆（noninvertible）或奇異（singular）矩陣,利用高斯消去法求矩陣,若已知矩陣 A 之元素為 aij for 1i,jn，欲求A-1之元素 bij for 1i,jn，根據定義：,利用高斯消去法求矩陣,根據矩陣乘法的定義，我們可以將這個矩陣方程式拆成 n 個 n 變數聯立方程式aij為已知，是方程式的係數，bij則是未知數，分別以高斯消去法解出這 n 組方程式，即可求出全部的 bij,利用高斯消去法求矩陣,我們也可以將全部的方程式合併，寫成一個 n2n 的增廣矩陣：之後再使用高斯消去法，將前半部變成單位矩陣，後半部即是反矩陣的解,行列式（Determinant）,行列式的定義：,以高斯消去法求行列式值,根據行列式以上的特性，我們可以用高斯消去法將原矩陣變為上三角或下三角矩陣，再將對角線元素相乘即可得行列式值，例如：,可得行列式值為2(1/2)313=39,上下三角矩陣分解,在高斯消去法的過程中，我們可以將原始矩陣A分解為兩個矩陣相乘A=LU，其中L為上三角矩陣、U為下三角矩陣,上下三角矩陣分解,使用時機：當程式需要解許多次與A有關的線性系統時，先將A做上下三角分解，可得到較高的計算效率L即為高斯消去所得之上三角矩陣，U的對角線元素皆為一，其他非零元素則為消去過程中之mki=aki/aii，如下例所示：,A,U,L,