多目标及离散变量优化方法.ppt
第一部分 现代机械设计概述第二部分 机械优化设计第三部分 创新设计TRIZ 第四部分 绿色设计第五部分 逆向设计,课程内容,第六章多目标优化方法和离散变量优化方法简介,第一节 多目标优化问题,第二节 多目标优化方法,第三节 离散变量优化问题 与离散变量优化方法,第六章 重点内容,1.什么是非劣解？2.多目标优化方法主要有哪四种方法？3.统一目标法中的线性加权法，如何将各目标函数值的变化范围均统一为从0到1的变化范围？4.统一目标法中的线性加权法，确定加权因子的方法有哪几种？5.统一目标法中的理想点法是如何构造统一的目标函数的？6.统一目标法中的功效系数法可以怎样确定功效系数？7.用宽容分层序列法求解的思路8.构造离散惩罚函数 离散变量组合型法中如何产生初始复合形的顶点？约束条件和迭代终止是如何处理的?,第六章,结束,机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 多目标优化设计问题,多目标优化问题的类型：(1)整体多目标优化(2)分层(步)多目标优化多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别:单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解）多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不易于比较其优劣。,第一节 多目标优化问题,T,l,R,x,R,x,x,f,x,f,x,f,x,F,n,n,),(,),(,),(,),(,2,1,min,min,.,=,第六章 第一节 多目标优化问题,判别方案的优劣：单目标：只要用f(x)去比较即可,绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到 最优的解。绝对最优解几乎不可能找到，因为各分目标函数有时会相互矛盾。非劣解(有效解)：指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目标函数值fi(x)比fi(x*)更好，而其余(m-1)个目标函数值不变坏，则称x*为非劣解（有效解）;多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步，以便取得较好的方案。,多目标：,（j=1,2,l）,第六章 第一节 多目标优化问题,例1,在,最优解为：,但两者无共同的最优解,内两单目标函数,第六章 第一节 多目标优化问题,内，,(若,，对任意,都有,，则x*是多目标优化的绝对最优解),若,，且不存在,使,，则x*为非劣解。,的所有点均为非劣解。,是绝对最优解。,内，a，a点都是劣解（若,，存在,，有,则x*成为劣解。）,Dx,x,*,第六章 第一节 多目标优化问题,例如b点。,一、主要目标法 基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标，而其它目标则只需满足一定的要求即可，即将目标转化为约束条件 目标函数转化为：,二、统一目标法 基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为多目标优化问题的评价函数。,第二节 多目标优化方法,式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。一般 只有单边限制,第六章 第二节 多目标优化方法,1线性加权法 基本思想：将各个分目标函数,依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组,构成一新的统一的目标函数F(x),wi加权因子(wi0，i=1,2,，l)加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。,常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法）、功效系数法和极大极小法等。,加权因子，,取fi(x)和wi(i=1,2,，l)的线性组合，,第六章 第二节 多目标优化方法,为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x)转化为无量纲等量级目标函数,再组成统一目标函数。,wi按各分目标的重要程度来决定如各分目标有相同的重要性，则取wi=1(i=1,2,l)称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子，取,第六章 第二节 多目标优化方法,将各分目标转化后加权,加权因子wi确定的方法:,设各分目标函数值的变动范围为：,即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数，它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消除了各分目标在数量级上的差别。,第六章 第二节 多目标优化方法,其中，w1i本征权因子，反映各分目标的重要程度w2i校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响,加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目标函数值同步下降。,直接加权法,将加权因子分成两部分,一般取：,wi=w1iw2i(i=1,2,l),第六章 第二节 多目标优化方法,基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调整，定出各分目标的最合理值,（也可以是最优值,），再构造新的统一的,式中，除,如引入加权系数wi，则目标函数为：,2理想点法（目标规化法）,是为使目标函数无量纲化。,目标函数：,第六章 第二节 多目标优化方法,V,其中，,则统一目标函数为,即要求位于分子的各分目标函数应尽量小，而位于分母的各分目标函数应尽量大。一般要求各分目标函数fi(x)在D上均取正值。,3分目标乘除法,多目标混合优化问题：,第六章 第二节 多目标优化方法,基本思想：对应每一目标函数都用功效系数,来表示该项指标的好坏,总功效系数（评价函数）,C值越大越好，C=1-方案最满意C=0-表示此方案不能被接受。只要有一个方案，Ci=0，此方案都不能被接受功效系数类型：1）Ci与fi成正比，即要求目标函数越大越好2）Ci与fi成反比，即要求目标函数越小越好3）fi取某适当值时，Ci就越大；否则Ci就越小。,4功效系数法,第六章 第二节 多目标优化方法,功效系数的确定方法：,直线法,折线法,第六章 第二节 多目标优化方法,指数法,功效系数法的优点：1、各分目标函数的值数量级大小对优化无影响 2、评价函数比较直观、易于调整 3、适于要求目标函数取值适中的情况,第六章 第二节 多目标优化方法,基本思想：多目标优化问题中，存在目标函数间相互矛盾的情况，一个（些）目标函数值的减小，将导致另一个（些）目标函数值的增大。因此，各分目标函数值之间需要进行协调，以便取得合理的方案。如图所示，两维双目标函数f1(x)、f2(x)的等值线和两个不等式约束曲面.,三、协调曲线法,第六章 第二节 多目标优化方法,f1(x)最优点T点，f2(x)最优点P点 可行域中任意一点R.从R点起沿f1(x)=5等值线，向约束面移动f2(x)不断改善，直至边界上S点。从R点起沿f2(x)=8等值线，向约束面f1(x)移动不断改善，直至边界上Q点。,f1(x)=5时，对应f2(x)的最佳点为S点,由此可得f1(x)（或f2(x)）为定值时对应的最佳f2(x)（或f1(x)）的点关系曲线T-Q-S-P协调曲线。,f2(x)=8时，对应f1(x)的最佳点为Q点。,均为约束边界点,第六章 第二节 多目标优化方法,S、Q点都比R点优,该曲线反映了两个设计目标全部最佳方案的调整范围,再建立一个衡量设计方案满意程度的准则，建立一组反映不同满意程度的曲线u(f1,f2)，使随着满意度增加，同时使目标函数f1(x)和f2(x)都有所下降。满意度曲线与协调曲线的切点，即为最优设计方案。如图所示O点 满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。,第六章 第二节 多目标优化方法,基本思想：将多目标优化问题的各目标函数按重要程度排列，然后，依次对各个目标函数求最优解，而后一目标函数应在其前面目标函数最优解的集合域内寻优。1、分层序列法设分目标函数重要程度次序为：f1(x)、f2(x)，则首先对f1(x)寻优：,在,的集合内对f2(x)寻优：,四、分层序列法和宽容分层序列法,第六章 第二节 多目标优化方法,问题：如其中第k个目标函数的最优解为唯一时，再往下求解就失去意义，而后面l-k个目标函数也没法得到最优化解。,以下类推。,2、宽容分层序列法 基本思想：即先对各目标函数的最优值取一定的宽容量1，2，l(0)，使求后一个目标函数最优值时，对前一些目标函数的约束扩大为在其最优值附近的某一范围内。,第六章 第二节 多目标优化方法,如图，两目标优化问题，不作宽容时，,为最优解，即f1(x)的严格最优解，给定宽容值1，则最优解为x(1),第六章 第二节 多目标优化方法,例1 用宽容分层序列法求解,式中，,解：如图所示，由,给定1=0.052，,解,V,第六章 第二节 多目标优化方法,等间隔的离散变量 非均匀间隔离散变量 特例：整数变量整数规划问题最简单处理办法：按连续变量处理，得最优解后，再圆整为最近的离散值问题：圆整后的点在非可行域;圆整为哪一个附近的离散值难于确定;有些情况下设计变量不允许最后取整。,第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,一、概述,离散变量,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,式中,离散变量子集合,xD为空集时，为连续变量型问题xC为空集时，为全离散变量型问题,连续变量子集合,约束非线性混合离散变量优化问题的数学模型：,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,二、约束非线性离散变量的优化方法 常用方法：1)以连续变量优化为基础的方法：圆整法、拟离散法、离散型罚函数法 2)离散变量随机优化方法：随机试验法，随机离散搜索法 3)离散变量搜索优化方法：组合优化法，整数梯度法 4)其它离散变量优化方法：非线性隐枚举法，分支定界法(一)以连续变量优化为基础的方法1、整型化、离散化法 基本思想：先按连续变量方法求得最优解x*，再进一 步寻找整型量或离散量优化解。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,设最优点,的n个实型分量为,，则最靠近,的两个离散量（或整型量）,由这些离散（整型）分量的不同组合，便构成了最邻近于实型最优点x*的两个整型（离散）分量及其相应一组离散（整型）点群共2n个设计点。去除不在可行域内点，其余在可行域内的若干点中，选取一个目标函数值最小的点作为最优解输出。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,问题：如中图:x*点（通常在约束边界上）附近的离散点（整型点）均不在可行域内的情况 如右图:离x*较远的点P为离散最优点的情况。,如左图，x*点附近整型（离散）点群为ABCD。B点在可行域外，C点为最优点。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,2拟离散法 基本思想：在求得连续变量最优解x*后，在x*点附近按一定方法进行搜索来求得优化离散解。(1)交替查找法：适于全整数变量优化问题（略）(2)离散分量取整，连续分量优化法：适用于混合离散变量优化问题（略）,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,基本思想：将设计变量的离散性视为对该变量的一种约束条件，再用连续变量的优化方法来计算离散变量问题的优化解。1）构造一个具有下列性质的离散惩罚函数项Qk(xD),3、离散惩罚函数法,RD设计空间离散点的集合 其意义为：当离散变量趋于离散值时，惩罚函数值为零,离散惩罚函数定义方法:,其中，,xi为相邻两离散点xij和xij+1间任一点坐标。Qk(xD)为规范化的对称函数，其最大值为1，xi取xij或xij+1时为0。如图,对k1情形，在离散值之间范围内，函数的一阶导数是连续的。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,(1),2）将离散惩罚函数项Qk(xD)加到内点法SUMT的惩罚项中，得离散惩罚函数为：,其中，s(k)为离散惩罚因子，,时,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,例1 求f(x)=x/2的最小整数优化解，约束函数 g1(x)=1.3-x0如图所示，分别表示k不同时，,离散优化点,最终离散最优解为x2,变化情况,随着k不断变化，r减小，s增加,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,方法缺点：离散惩罚函数易出现病态，使优化搜索带 来困难。(二)离散变量搜索型方法离散复合形法特点：在离散空间直接搜索，每次得到的复合形顶点都是离散点，通过不同的搜索方法来改变其形状，使复合形逐步向离散最优点趋近。算法步骤：1)在n维空间产生由2n+1个顶点构成的初始复合形，并将各顶点移到各自附近的离散点上。2)将各项点按目标函数值由大到小排列，找出最坏点AH3)找出除最坏点外复合形的几何中心，并求出最坏点AH相对于中心点的反射点Ap并移到附近离散点上。4)如Ap点可行，且目标函数值比AH点好，则用Ap替代AH点，组成新复合形转步骤2,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,否则，沿反射的反方向搜索定新点。5)如用上述方法失败，则依次用次坏点代替最坏点 作为映射点，转步骤3）6)如用最好点代替AH作为映射点，仍找不到好点，或 复合形退化到n-1维空间时，表示算法收敛。此时，取复合形顶点中最好的点作为离散优化解。(三)离散变量型网格法 1.离散变量型普通网格法 基本思想：以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算在可行域内每个网格节点上的目标函数值，比较其大小，再以目标函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，并计算各节点上的目标函数值，直至网格小到满足精度网格节点密度与离散点密度相等。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,开始时网格比较稀疏网格节点密度逐渐增加直至按一个离散增量划分网格节点为止。2离散变量型正交网格法 普通网格法的缺点：变量维数增加时，计算工作量大大增加正交网格法基本思想：根据正交试验法的原理，利用正交表均匀地选取网格法中一部分有代表性的网格点作为计算点，又称随机正交网格法。正交网格法的特点：只计算部分网格点的目标函数值，计算工作量少。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,(四)离散变量的组合型法（MDCP法）工程离散优化通用方法 基本思想：以离散复合形法为基础，采用多种离散搜索策略，形成的具有多种功能的组合型算法。适于求解非线性混合离散变量优化问题1初始离散复合形顶点的形成复合形顶点数k=2n+1给定初始离散点x(0)，x(0)须满足变量值的边界条件，但不必满足约束条件，即,式中，ximin，ximax分别为第i个变量的下、上限,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,点号数,分量号数,复合形的2n+1个顶点按下面方法产生第1个顶点：,第2至n+1个顶点：,第n+2至2n+1个顶点：,如此产生的复合形顶点，不要求全是可行点，如图，5个初始复合形顶点中，C、D两点为不可行点。,例如二维：,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,2、离散一维搜索产生新点 将复合形顶点目标函数值排队，找出目标函数值最大的点为最坏点，x(b)以x(b)为基点，向其余各顶点的几何中心x(e)方向作一维搜索，采用映射、延伸或收缩等步骤搜索,搜索方向S的各分量Si计算式为：,离散一维搜索得到的新点为x(t)其各分量为：,取,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,离散一维搜索得到的新点为x(t)其各分量为：,取,其中,表示取最靠近,离散一维搜索方法可采用离散一维搜索进退对分法，步长为单位离散步长的整倍数。,的离散值。,T-步长因子,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,在产生初始复合形顶点及一维离散搜索时，均未考虑约束条件，为保证复合形迭代限制在可行域内，定义一个有效目标函数EF(x),3约束条件的处理,式中，M 数量级比f(x)大得多的常数SUM为一特殊函数，其值与所有违反约束量的总和成正比。,常数,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,如图所示为一维变量EF(x)的几何图形。若新点在可行域外，沿EF(x)的下降方向进行一维离散搜索时，搜索点会自动滑入深井内；当在可行域内搜索时，可行域的边界M犹如一堵高墙，一到边界就会被挡住。从而保证离散一维搜索始终在可行域内进行。,4离散变量组合形的调整（重新启动技术）当沿组合形的调优方向S得不到新点时，则需要调整组合形的形状。调整方法：1）用次坏点（也可以是第2、3坏的顶点）与其余顶点几何中心的连线方向取代原搜索方向继续进行调优迭代；2）上述方法失败，则将每个顶点都向好点方向收缩1/3，构成新组合形继续进行迭代。5组合型算法的终止准则 在连续变量的复合形法中的收敛准则：复合形各顶点目标函数值与几何中心点目标函数值的均方根差小于某个很小的正数，或者复合形“边长”很小时。但在离散变量的组合形算法中，由于各个设计分量的离散增量差距较大，所以这两个准则均无效。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,令,第i个坐标方向上的长度为：,取连续变量的精度值（或称拟增量）为i，各离散变量的增量值为i。预先给定的一个期望个数EN(n/2ENn)。将di与i或i进行比较，如满足di i(或i)的分量个数RN大于EN。RNEN，则认为已经收敛。,第六章 第三节 离散变量优化问题与离散变量优化方法,这时表明离散复合形各顶点坐标值不再产生有意义的变化，将最好顶点作为离散变量的优化解输出。,
