《分段低次插值法》PPT课件.ppt

2.5 分段低次插值法,一、高次插值的龙格(Runge)现象,(插值过程的收敛性问题),问题:,所构造的插值多项式 作为,近似函数,是否 的次数愈高,逼近 的效果愈好,即,利用高次插值多项式的危险性,在20世纪初被Runge发现.,例子.,并作图比较.,解:,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,n=2,n=4,n=6,n=8,n=10,f(x)=1/(1+x2),在-2,2上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.可以证明,即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初由Runge发现.,这表明:并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高.结论:不适宜在大范围使用高次代数插值.,解决办法:分段低次插值;分段光滑插值;,若从舍入误差分析,知当n7时,舍入误差亦会增大.,可知,Runge现象是由f(x)的高阶导数无界所致.,分段低次插值,二、分段线性Lagrange插值,构造Lagrange线性插值,1.分段线性插值的构造,-(1),-(2),显然,当 时,或者通过分段插值基函数 的线性组合来表示:,其中,且,也称折线插值,如右图,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,但如果增加节点的数量,减小步长,会改善插值效果,因此,则,由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为,2.分段线性插值的误差估计,定理,三、分段三次Hermite插值,可构造两点三次Hermite插值多项式,其中,我们称,为分段三次Hermite插值多项式，其余项为,例2.,比较几种插值.,我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和分段两点三次Hermite插值作比较,解:,即,f(x)0.80000 0.307690.137930.075470.04160,H3(x)0.81250 0.30750 0.13750 0.07537 0.04159,x0.51.52.53.54.8,R3(x)=f(x)-H3(x)0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455,L2(x)0.875000.32500 0.12500 0.072060.04087,L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269,分段低次插值的特点:,计算较容易,可以解决Runge现象,可保证收敛性,但插值多项式分段,插值曲线在节点处会出现尖点,不可导,优点:,缺点:,